Use o Teste da Razão para determinar a convergência ou divergência da série dada:
sumn=1^infty n!e^-n;

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^inftyn!,e^-n
usando o Teste da Razão. Lembra que, para uma série com termo geral an, calculamos
L=limntoinfty|an+1an|
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 2

Aqui o termo geral é
an = n!,e^-n
Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
an+1an = (n+1)!,e^-(n+1)n!,e^-n = (n+1),e^-1

Passo 3

Agora tomamos o limite dessa razão quando ntoinfty:
L = limntoinfty(n+1),e^-1 = limntoinftyn+1e = +infty
Como L>1, o Teste da Razão garante que a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^inftyn!,e^-n diverge pelo Teste da Razão.

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