Use o teste da raiz para tentar decidir sobre a convergência de:
sumn=0^infty n^1-3 n4^2 n (converge)

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=0^infty n^1-3n4^2n
e pede para decidir sua convergência usando o critério da raiz. Vamos precisar calcular
L = limntoinfty l|anr|^1/n,
onde an = n^1-3n4^2n.

Passo 2

Escrevendo 4^2n=(16)^n, temos
an = n^1-3n16^n
e portanto
l|anr|^1/n = (n^1-3n16^n)^1/n = n^(1-3n)/n16 = n^1/n - 316

Passo 3

Agora avaliamos o limite
L = limntoinfty n^1/n - 316
Como limntoinftyn^1/n=1, segue que
limntoinftyn^1/n -3 =limntoinftyn^1/nn^3 =1infty=0
Logo
L = 016=0<1
Pelo critério da raiz, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente pelo critério da raiz.

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