Use o teste da razão para determinar a convergência ou a divergência da série.
sumn=1^infty(-1)^n n^nn!.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem que usar o teste da razão para determinar se a série sumn=1^infty (-1)^n n^nn! converge ou diverge. O teste da razão é uma ferramenta útil para analisar séries que envolvem termos com potências e fatoriais, como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o teste da razão. A ideia é calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1 , a série converge; se L > 1 , diverge; e se L = 1 , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos identificar an da nossa série: an = (-1)^n n^nn! . Agora, vamos montar a razão |an+1/an| :
| an+1an | = | (-1)^n+1 (n+1)^n+1(n+1)!(-1)^n n^nn! |
Simplificando os sinais negativos:
| an+1an | = (n+1)^n+1(n+1)! cdot n!n^n = (n+1)^nn^n = (1 + 1n)^n

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão:
L = limn to infty (1 + 1n)^n = e approx 2,718

Resposta

Como L = e > 1 , pelo teste da razão, a série sumn=1^infty (-1)^n n^nn! diverge.

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