Utilizando o método de integração por partes, calcular as seguintes integrais:
integral y^2 ln (2 y) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral y^2ln(2y),dy
usando o método de integração por partes.
O conteúdo aqui é aplicar a fórmula
integral u,dv = uv - integral v,du
escolhendo adequadamente u e dv.

Passo 2

Escolhemos
u = ln(2y), dv = y^2,dy
porque a derivada de ln(2y) simplifica e y^2 é fácil de integrar.

Passo 3

Agora calculamos du e v:
du = ddyl(ln(2y)r),dy = 1y,dy, v = integral y^2,dy = y^33

Passo 4

Substituindo na fórmula de partes:
integral y^2ln(2y),dy = u,v - integral v,du = y^33ln(2y) - integral y^33cdot1y,dy = y^33ln(2y) - 13integral y^2,dy

Passo 5

Calculamos a integral restante:
integral y^2,dy = y^33
Logo,
integral y^2ln(2y),dy = y^33ln(2y) - 13cdoty^33 + C = y^33ln(2y) - y^39 + C

Resposta

integral y^2ln(2y),dy = y^33ln(2y) - y^39 + C

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