Use o teste da razão para determinar a convergência ou a divergência da série.
sumn=1^infty(-1)^n-1 raiznn+4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está lidando com séries infinitas, mais especificamente usando o Teste da Razão para verificar se a série converge ou diverge. A série que vamos analisar é:
sumn=1^infty(-1)^n-1 raiznn+4
Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o comportamento de séries infinitas analisando o limite da razão entre termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série sum an, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, a série tem termos alternados devido ao (-1)^n-1, mas o Teste da Razão considera o valor absoluto dos termos, então vamos aplicar o teste nos termos positivos.

Passo 3

Vamos identificar an na nossa série. Ignorando o sinal alternado, temos:
an = raiznn+4
Agora, vamos calcular an+1:
an+1 = raizn+1(n+1)+4 = raizn+1n+5

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty raizn+1n+5 cdot n+4raizn
Vamos simplificar essa expressão:
L = limn to infty raizn+1raizn cdot n+4n+5

Passo 5

Simplificando cada parte separadamente:
  1. raizn+1raizn = raizn+1n = raiz1 + 1n approx 1 + 12n quando n é grande.
  2. n+4n+5 = n(1 + 4n)n(1 + 5n) = 1 + 4n1 + 5n approx 11 = 1 quando n é grande.
Portanto, o limite se aproxima de:
L = 1 times 1 = 1

Passo 6

Segundo o Teste da Razão, se L = 1, o teste é inconclusivo, ou seja, não podemos determinar a convergência ou divergência da série apenas com esse teste.
Nesse caso, como a série é alternada, podemos tentar usar o Teste da Série Alternada para concluir.

Passo 7

O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma sum (-1)^n bn converge se:
  1. bn é decrescente ( bn+1 <= bn).
  2. limn to infty bn = 0.
Vamos verificar essas condições para bn = raiznn+4:
  1. Verificar se bn é decrescente:
    • Calculando bn+1 = raizn+1n+5.
    • Como n aumenta, o denominador cresce mais rapidamente do que o numerador, então bn+1 < bn.
  2. Calcular o limite:
    limn to infty raiznn+4 = limn to infty n^1/2n + 4 = limn to infty 1n^1/2 + 4n^1/2 = 0
Como ambas as condições são satisfeitas, a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n-1 raiznn+4 converge.

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