Use o teste da razão para determinar a convergência ou a divergência da série. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que está lidando com séries infinitas, mais especificamente usando o Teste da Razão para verificar se a série converge ou diverge. A série que vamos analisar é:
Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o comportamento de séries infinitas analisando o limite da razão entre termos consecutivos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série , calculamos o limite:
Se L < 1, a série converge absolutamente.
Se L > 1, a série diverge.
Se L = 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, a série tem termos alternados devido ao (-1)^n-1, mas o Teste da Razão considera o valor absoluto dos termos, então vamos aplicar o teste nos termos positivos.
Passo 3
Vamos identificar an na nossa série. Ignorando o sinal alternado, temos:
an = raiznn+4
Agora, vamos calcular an+1:
an+1 = raizn+1(n+1)+4 = raizn+1n+5
Passo 4
Agora, aplicamos o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty raizn+1n+5 cdot n+4raizn
Vamos simplificar essa expressão:
L = limn to infty raizn+1raizn cdot n+4n+5
Passo 5
Simplificando cada parte separadamente:
raizn+1raizn = raizn+1n = raiz1 + 1n approx 1 + 12n quando n é grande.
n+4n+5 = n(1 + 4n)n(1 + 5n) = 1 + 4n1 + 5n approx 11 = 1 quando n é grande.
Portanto, o limite se aproxima de:
L = 1 times 1 = 1
Passo 6
Segundo o Teste da Razão, se L = 1, o teste é inconclusivo, ou seja, não podemos determinar a convergência ou divergência da série apenas com esse teste.
Nesse caso, como a série é alternada, podemos tentar usar o Teste da Série Alternada para concluir.
Passo 7
O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma sum (-1)^n bn converge se:
bn é decrescente (bn+1 <= bn).
limn to infty bn = 0.
Vamos verificar essas condições para bn = raiznn+4:
Verificar se bn é decrescente:
Calculando bn+1 = raizn+1n+5.
Como n aumenta, o denominador cresce mais rapidamente do que o numerador, então bn+1 < bn.
Calcular o limite:
limn to infty raiznn+4 = limn to infty n^1/2n + 4 = limn to infty 1n^1/2 + 4n^1/2 = 0
Como ambas as condições são satisfeitas, a série converge.