Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 2 cdot 4 cdot 6 cdots cdot(2 n)n!

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty 2cdot4cdot6cdots(2n)n!. O conteúdo principal é o Teste da Razão para séries numéricas e vamos precisar manipular produtos e fatoriais para escrever o termo geral de forma simplificada.

Passo 2

Observe que o numerador é um produto de termos pares: prodk=1^n(2k)=2^nprodk=1^n k. Como prodk=1^n k=n!, concluímos:
2cdot4cdot6cdots(2n)=2^n n!

Passo 3

Substituindo na definição do termo geral an, obtemos:
an=2^n n!n!=2^n

Passo 4

Aplicamos o Teste da Razão, calculando:
L=limntoinftyan+1an=limntoinfty2^n+12^n=2

Passo 5

Como o valor de L=2>1, o Teste da Razão nos diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois pelo Teste da Razão temos limntoinftytfracan+1an=2>1.

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