Use os testes apropriados para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem, verificancto culdadosamente as hipóteses e justificando todas as suas afirmações.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pede: determinar se a série
converge ou diverge, justificando cuidadosamente as hipóteses dos testes usados.
- Informações dadas: o termo geral é
, definido para . - Observação imediata: para
temos e , logo todos os termos são positivos. Isso facilita o uso do Teste da Integral ou de comparações com séries de termos positivos.
Passo 2
Escolha do método de resolução.
- Vou usar o Teste da Integral, porque o termo pode ser visto como
para a função contínua e a integral imprópria correspondente é fácil de calcular por partes. O Teste da Integral é apropriado quando temos uma função positiva, contínua e monótona decrescente em ; por isso preciso verificar essas hipóteses para em .
Passo 3
Definição da função e verificação de positividade e continuidade.
- Defino
para . - Positividade: para
temos e , então . - Continuidade:
e são contínuas em e o denominador não zera, logo é contínua em .
Passo 4
Verificação de que
é decrescente para
.
- Calculo a derivada
. Começo escrevendo . - Derivando (produto):
- Coloco em fator comum
:
(para ficar claro, reescrevo corretamente:)
- Agora analiso o sinal:
para . O fator é negativo quando , isto é, quando . - Como
, para todo temos e portanto . - Conclusão:
para todo , logo é decrescente em .
Passo 5
Enunciado do Teste da Integral e aplicação das hipóteses.
- Teorema (Teste da Integral): se
é positiva, contínua e decrescente em , então a série converge se, e somente se, a integral imprópria converge. - Verificamos nos passos anteriores que
satisfaz as hipóteses no intervalo . Portanto basta avaliar
Passo 6
Cálculo da integral imprópria
(integração por partes).
- Faço integração por partes escolhendo
e . - Então
e
- Aplicando a fórmula de partes:
- Avalio o termo de fronteira quando
. Preciso de . Justifico isso com l’Hôpital: considere ; derivando numerador e denominador obtemos . Portanto o termo de fronteira no infinito é . - Assim, tomando
,
- Simplifico o primeiro termo de borda no ponto
:
- Agora calculo a integral restante:
- Multiplicando por
(no fator que estava fora da integral):
- Somando os termos:
que é um número finito. Portanto a integral converge.
Passo 7
Conclusão final usando o Teste da Integral.
- Como
é positiva, contínua e decrescente em e a integral imprópria converge (tem valor ), pelo Teste da Integral a série
converge.
Resposta
A série converge.