Use os testes apropriados para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem, verificancto culdadosamente as hipóteses e justificando todas as suas afirmações.
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{\ln k}{k \sqrt{k}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: determinar se a série
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{\ln k}{k\sqrt{k}}
converge ou diverge, justificando cuidadosamente as hipóteses dos testes usados.
  • Informações dadas: o termo geral é \dfrac{\ln k}{k\sqrt{k}}, definido para k\ge 2.
  • Observação imediata: para k\ge 2 temos \ln k>0 e k\sqrt{k}>0, logo todos os termos são positivos. Isso facilita o uso do Teste da Integral ou de comparações com séries de termos positivos.

Passo 2

Escolha do método de resolução.
  • Vou usar o Teste da Integral, porque o termo pode ser visto como f(k) para a função contínua f(x)=\dfrac{\ln x}{x^{3/2}} e a integral imprópria correspondente é fácil de calcular por partes. O Teste da Integral é apropriado quando temos uma função positiva, contínua e monótona decrescente em [a,\infty); por isso preciso verificar essas hipóteses para f em [2,\infty).

Passo 3

Definição da função e verificação de positividade e continuidade.
  • Defino f(x)=\dfrac{\ln x}{x^{3/2}} para x\ge 2.
  • Positividade: para x\ge 2 temos \ln x>0 e x^{3/2}>0, então f(x)>0.
  • Continuidade: \ln x e x^{3/2} são contínuas em [2,\infty) e o denominador não zera, logo f é contínua em [2,\infty).

Passo 4

Verificação de que f é decrescente para x\ge 2.
  • Calculo a derivada f'(x). Começo escrevendo f(x)=\ln x\cdot x^{-3/2}.
  • Derivando (produto):
f'(x)=\frac{1}{x}\cdot x^{-3/2} + \ln x\cdot\left(-\frac{3}{2}x^{-5/2}\right).
  • Coloco em fator comum x^{-5/2}:
f'(x)=x^{-5/2}\bigl( x^{1} - \tfrac{3}{2}\ln x \bigr)\cdot\frac{1}{x^{?}}
(para ficar claro, reescrevo corretamente:)
f'(x)=x^{-5/2}\bigl(1 - \tfrac{3}{2}\ln x\bigr).
  • Agora analiso o sinal: x^{-5/2}>0 para x>0. O fator 1-\tfrac{3}{2}\ln x é negativo quando \ln x>\tfrac{2}{3}, isto é, quando x>e^{2/3}.
  • Como e^{2/3}\approx 1{,}947<2, para todo x\ge 2 temos \ln x>\tfrac{2}{3} e portanto 1-\tfrac{3}{2}\ln x<0.
  • Conclusão: f'(x)<0 para todo x\ge 2, logo f é decrescente em [2,\infty).

Passo 5

Enunciado do Teste da Integral e aplicação das hipóteses.
  • Teorema (Teste da Integral): se f é positiva, contínua e decrescente em [a,\infty), então a série \sum_{k=\lceil a\rceil}^{\infty} f(k) converge se, e somente se, a integral imprópria \int_a^{\infty} f(x)\,dx converge.
  • Verificamos nos passos anteriores que f satisfaz as hipóteses no intervalo [2,\infty). Portanto basta avaliar
\int_{2}^{\infty} \frac{\ln x}{x^{3/2}}\,dx.

Passo 6

Cálculo da integral imprópria \displaystyle \int_{2}^{\infty} \frac{\ln x}{x^{3/2}}\,dx (integração por partes).
  • Faço integração por partes escolhendo \,u=\ln x e \,dv=x^{-3/2}dx.
  • Então \,du=\dfrac{1}{x}\,dx e
v=\int x^{-3/2}dx = -2x^{-1/2}.
  • Aplicando a fórmula de partes:
\int_{2}^{R} \frac{\ln x}{x^{3/2}}\,dx = \Big[ -2\ln x\; x^{-1/2}\Big]_{2}^{R} + 2\int_{2}^{R} x^{-3/2}\,dx.
  • Avalio o termo de fronteira quando R\to\infty. Preciso de \displaystyle\lim_{x\to\infty}\ln x\; x^{-1/2}=0. Justifico isso com l’Hôpital: considere \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}; derivando numerador e denominador obtemos \dfrac{1/x}{(1/2)x^{-1/2}}=2x^{-1/2}\to 0. Portanto o termo de fronteira no infinito é 0.
  • Assim, tomando R\to\infty,
\int_{2}^{\infty} \frac{\ln x}{x^{3/2}}\,dx = -\bigl(0 - (-2\ln 2\cdot 2^{-1/2})\bigr) + 2\int_{2}^{\infty} x^{-3/2}\,dx.
  • Simplifico o primeiro termo de borda no ponto 2:
-(-2\ln 2\cdot 2^{-1/2}) = 2\ln 2\cdot 2^{-1/2} = \sqrt{2}\,\ln 2.
  • Agora calculo a integral restante:
\int_{2}^{\infty} x^{-3/2}\,dx = \Big[-2x^{-1/2}\Big]_{2}^{\infty} = -2(0 - 2^{-1/2}) = \frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.
  • Multiplicando por 2 (no fator que estava fora da integral):
2\int_{2}^{\infty} x^{-3/2}\,dx = 2\sqrt{2}.
  • Somando os termos:
\int_{2}^{\infty} \frac{\ln x}{x^{3/2}}\,dx = \sqrt{2}\,\ln 2 + 2\sqrt{2} = \sqrt{2}\,(\ln 2 + 2),
que é um número finito. Portanto a integral converge.

Passo 7

Conclusão final usando o Teste da Integral.
  • Como f é positiva, contínua e decrescente em [2,\infty) e a integral imprópria \displaystyle\int_{2}^{\infty}\dfrac{\ln x}{x^{3/2}}\,dx converge (tem valor \sqrt{2}(\ln 2+2)), pelo Teste da Integral a série
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{\ln k}{k\sqrt{k}}
converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados