Use TFC 1 para encontrar a derivada das funções
F(x)=integralraizx^2 x arctan t dt

Passo 1

O enunciado nos dá a função F(x) = integralraizx^2x arctan t,dt. O assunto é o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC1) para derivar integrais cujos limites dependem de x.

Passo 2

Segundo o TFC1 com limites variáveis, se temos G(x) = integrala(x)^b(x) f(t),dt, então\n\n G'(x) = fl(b(x)r),b'(x) ; - ; fl(a(x)r),a'(x).

Passo 3

No nosso caso identificamos:\n- f(t) = arctan t\n- limite superior b(x) = 2x\n- limite inferior a(x) = raizx.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas desses limites:
b'(x) = dfracddx(2x) = 2
a'(x) = dfracddx(raizx) = dfrac12raizx.

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula do TFC1, temos:
F'(x) = arctanl(2xr)cdot 2 ; - ; arctanl(raizxr)cdot 12raizx

Resposta

F’(x) = 2\arctan(2x) - \frac{1}{2\sqrt{x}},\arctan(\sqrt{x}).

Exercícios relacionados