Use transformada de Laplace para calcular a solução de cada PVI abaixo:
ly^prime prime+2 y^prime+2 y=f(t), 0 <= t
onde f(t)= t & se 0 <= t <= 1 1 & se 1

Passo 1

Recapitulando o problema: queremos resolver o PVI y''+2y'+2y=f(t) com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0, onde
f(t)=t,&0<= t<=1,1,&t>1
O conteúdo principal é transformar a EDO por Laplace e depois usar a inversa, recorrendo também à função de Heaviside para o termo de regime pós- t=1.

Passo 2

Aplicar transformada de Laplace à EDO. Lembrando:
Logo,
Laplacey''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=s^2Y(s),
e portanto
Laplacey'=sY(s)-y(0)=sY(s),

Passo 3

Calcular . Escrevemos
F(s)=Laplacef(t)
Pela propriedade do deslocamento:
além de . Assim
f(t)=t,[u(t)-u(t-1)]+1,u(t-1)

Passo 4

Substituir em Y(s):
Y(s)=1-e^-ss^2,(s^2+2s+2) =1-e^-ss^2,[(s+1)^2+1]

Passo 5

Fazer frações parciais em
1s^2,[(s+1)^2+1]=As+Bs^2+Cs+D(s+1)^2+1
Igualando numerador a 1, obtemos
A=-tfrac12, B=tfrac12, C=tfrac12, D=tfrac12

Passo 6

Reescrevendo
Y(s)=(1-e^-s)l( -tfrac121s+tfrac121s^2+tfrac12s+1(s+1)^2+1r)
Invertendo a parte sem e^-s:
Logo a resposta gênese é
Laplace^-1 -tfrac12s= -tfrac12, Laplace^-1tfrac12s^2=tfrac t2, Laplace^-1tfrac12s+1(s+1)^2+1=tfrac12e^-tcos t
Pela segunda propriedade de deslocamento, a parte com l(t)=-tfrac12+tfrac t2+tfrac12e^-tcos t gera e^-s.

Passo 7

Aplicando tudo e escrevendo de forma piecewise:
y(t)=l(t)-u(t-1),l(t-1) = -tfrac12+tfrac t2+tfrac12e^-tcos t,&0<= t<1, l[-tfrac12+tfrac t2+tfrac12e^-tcos tr] -l[-tfrac12+tfract-12+tfrac12e^-(t-1)cos(t-1)r],&t>=1
Simplificando no caso t>=1, obtemos a forma final.

Passo 8

Resposta

y(t)= -1 + t + e^-tcos t2,&0<= t<1,[6pt] 1 + e^-tcos t - e^-(t-1)cos(t-1)2,&t>=1

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