Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos
de funções degrau unitário.
ly^prime+4 y=e^-4 t y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' + 4y = e^-4t, y(0)=0
usando a transformada de Laplace. Aqui vamos tratar o termo de forçamento como
f(t)=e^-4tu(t)
para poder aplicar
Ly'=sY(s)-y(0) e
Le^-4tu(t)=1s+4.

Passo 2

Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da ODE:
Ly' + 4,Ly = Le^-4t
Usando
Ly'=sY(s)-y(0),
Ly=Y(s),
y(0)=0 e
Le^-4t=tfrac1s+4, obtemos
(s+4),Y(s) = 1s+4

Passo 3

Isolando Y(s) no domínio de Laplace, fica
Y(s) = 1(s+4)^2
Reconhecemos que essa é a transformada de Laplace de uma função do tipo t e^-4t.

Passo 4

Para inverter a transformada, usamos a propriedade
L^-1!1(s+a)^2 = t,e^-a t
Aqui a=4, logo
y(t) = t,e^-4t

Resposta

y(t) = t,e^-4t

Exercícios relacionados