Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^prime+2 y=f(t), y(0)=0, sendo f(t)=llt, & 0 <= t<1 0, & t >= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de uma equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é y' + 2y = f(t) com a condição inicial y(0) = 0 . A função f(t) é definida por:
f(t) = t, & 0 <= t < 1 0, & t >= 1
Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace nas equações diferenciais e também como lidar com funções por partes usando funções de Heaviside.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada y' é sY(s) - y(0) , onde Y(s) é a transformada de y(t) .
Aplicando a transformada na equação:
Ly' + 2Ly = Lf(t)
Substituindo pela formula da derivada:
sY(s) - y(0) + 2Y(s) = Lf(t)

Passo 3

Sabemos que y(0) = 0 , então a equação simplifica para:
sY(s) + 2Y(s) = Lf(t)
Fatorando Y(s) :
Y(s)(s + 2) = Lf(t)
Então, isolando Y(s) :
Y(s) = Lf(t)s + 2

Passo 4

Agora, precisamos encontrar Lf(t) . A função f(t) é definida por partes, então podemos escrevê-la usando a função de Heaviside u(t) :
f(t) = t cdot u(t) - t cdot u(t - 1)
A transformada de Laplace de t cdot u(t - a) é e^-as( 1s^2 ) . Aplicando isso:
Lf(t) = Lt - Lt cdot u(t - 1) = 1s^2 - e^-s( 1s^2 ) = 1 - e^-ss^2

Passo 5

Substituindo Lf(t) na expressão de Y(s) :
Y(s) = 1 - e^-ss^2(s + 2)
Para facilitar a inversão da transformada, vamos decompor essa fração em frações parciais. Podemos escrever:
1s^2(s + 2) = As + Bs^2 + Cs + 2
Multiplicando ambos os lados por s^2(s + 2) :
1 = A s(s + 2) + B(s + 2) + C s^2
Resolvendo para A, B, C :
  • Para s = 0 :
1 = B(0 + 2) Rightarrow B = 12
  • Para s = -2 :
1 = C(-2)^2 Rightarrow C = 14
  • Comparando os coeficientes de s^2 :
A + C = 0 Rightarrow A = -14
Então, a decomposição fica:
1s^2(s + 2) = -14s + 12s^2 + 14(s + 2)

Passo 6

Agora, substituindo de volta em Y(s) :
Y(s) = (1 - e^-s) ( -14s + 12s^2 + 14(s + 2) )
Vamos separar os termos:
Y(s) = -1 - e^-s4s + 1 - e^-s2s^2 + 1 - e^-s4(s + 2)

Passo 7

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace Inversa em cada termo. Lembrando que:
  • L^-1 1s = 1
  • L^-1 1s^2 = t
  • L^-1 1s + a = e^-at
  • E para termos com 1 - e^-s , usamos o teorema de second shift.
Aplicando isso, temos:
y(t) = -14(1 - u(t - 1)) + 12(t - (t -1)u(t -1)) + 14(e^-2t - e^-2(t -1)u(t -1))

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 12t - 12(t - 1)u(t - 1) - 14 + 14e^-2t - 14e^-2(t -1)u(t -1)

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