Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado. sendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de uma equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é y' + 2y = f(t) com a condição inicial y(0) = 0 . A função f(t) é definida por:
f(t) = t, & 0 <= t < 1 0, & t >= 1
Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace nas equações diferenciais e também como lidar com funções por partes usando funções de Heaviside.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada y' é sY(s) - y(0) , onde Y(s) é a transformada de y(t) .
Aplicando a transformada na equação:
Ly' + 2Ly = Lf(t)
Substituindo pela formula da derivada:
sY(s) - y(0) + 2Y(s) = Lf(t)
Passo 3
Sabemos que y(0) = 0 , então a equação simplifica para:
sY(s) + 2Y(s) = Lf(t)
Fatorando Y(s) :
Y(s)(s + 2) = Lf(t)
Então, isolando Y(s) :
Y(s) = Lf(t)s + 2
Passo 4
Agora, precisamos encontrar Lf(t) . A função f(t) é definida por partes, então podemos escrevê-la usando a função de Heaviside u(t) :
f(t) = t cdot u(t) - t cdot u(t - 1)
A transformada de Laplace de t cdot u(t - a) é e^-as( 1s^2 ) . Aplicando isso: