Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y'' + 2y' + 5y = 0 ; y(0) = 2, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem a equação com as condições iniciais e . Para chegar na solução, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas derivadas e depois resolver para , que é a transformada de . Por fim, faremos a transformada inversa para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando isso na equação:
Isso fica:

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos com :
Simplificando o lado direito:

Passo 4

Agora, isolamos :
Para facilitar a inversão, vamos completar o quadrado no denominador:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Vamos reescrever o numerador para facilitar a inversão da transformada:
Então:

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Sabemos que:
Aplicando isso na nossa expressão:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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