Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem a equação
com as condições iniciais
e
. Para chegar na solução, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas derivadas e depois resolver para
, que é a transformada de
. Por fim, faremos a transformada inversa para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando isso na equação:
Isso fica:
Passo 3
Vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos com
:
Simplificando o lado direito:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Para facilitar a inversão, vamos completar o quadrado no denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Vamos reescrever o numerador para facilitar a inversão da transformada:
Então:
Passo 6
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Sabemos que:
Aplicando isso na nossa expressão:
Resposta
A solução da equação diferencial é: