Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
y^prime prime-4 y^prime+4 y=t^3, sendo dados y(0)=1 e y^prime(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A questão que temos aqui é:
y'' - 4y' + 4y = t^3
com as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 0 .
Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e como lidar com termos não homogêneos, como t^3 .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A Transformada de Laplace de uma função y(t) é denotada por Y(s) . Lembrando que:
Ly' = sY(s) - y(0)
Ly'' = s^2Y(s) - s y(0) - y'(0)
Aplicando isso na nossa equação:
Ly'' - 4Ly' + 4Ly = Lt^3

Passo 3

Substituindo as transformadas:
(s^2Y(s) - s cdot 1 - 0) - 4(sY(s) - 1) + 4Y(s) = 6s^4
Aqui, usamos que Lt^3 = 6s^4 .

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
s^2Y(s) - s - 4sY(s) + 4 + 4Y(s) = 6s^4
Agrupando os termos com Y(s) :
(s^2 - 4s + 4)Y(s) = s - 4 + 6s^4
Agora, isolamos Y(s) :
Y(s) = s - 4s^2 - 4s + 4 + 6s^4(s^2 - 4s + 4)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão de Y(s) . Primeiro, observamos que o denominador s^2 - 4s + 4 pode ser fatorado:
s^2 - 4s + 4 = (s - 2)^2
Então:
Y(s) = s - 4(s - 2)^2 + 6s^4(s - 2)^2
Para encontrar y(t) , precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Isso envolve decompor em frações parciais e usar tabelas de transformadas conhecidas.
Após realizar os cálculos (que envolvem passos detalhados de frações parciais), obtemos:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = e^2t (1 + t) + 34 t^3 - 32 t^2 + 32 t

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