Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
, sendo dados
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A questão que temos aqui é:
com as condições iniciais
e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e como lidar com termos não homogêneos, como
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A Transformada de Laplace de uma função
é denotada por
. Lembrando que:
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Substituindo as transformadas:
Aqui, usamos que
.
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos com
:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão de
. Primeiro, observamos que o denominador
pode ser fatorado:
Então:
Para encontrar
, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Isso envolve decompor em frações parciais e usar tabelas de transformadas conhecidas.
Após realizar os cálculos (que envolvem passos detalhados de frações parciais), obtemos:
Resposta
A solução da equação diferencial é: