Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=0 \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
y'' + 3y' + 2y = 0,\quad y(0)=1,\;y'(0)=0
usando transformada de Laplace. Vamos chamar \displaystyle Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e usar as propriedades
\mathcal{L}\{y'\} = sY(s) - y(0),\quad \mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0).

Passo 2

Aplicando \mathcal{L} na equação diferencial obtemos
\bigl(s^2Y(s) - s\cdot 1 - 0\bigr) \;+\; 3\bigl(sY(s) - 1\bigr) \;+\; 2Y(s) \;=\; 0.
Reagrupando e substituindo os valores iniciais:
(s^2 + 3s + 2)\,Y(s) - s - 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{s+3}{s^2 + 3s + 2}.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{s+3}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2}.
Multiplicando por (s+1)(s+2) e comparando coeficientes em s:
A + B = 1,\quad 2A + B = 3 \quad\Longrightarrow\quad A = 2,\;B = -1.
Então
Y(s) = \frac{2}{s+1} \;-\; \frac{1}{s+2}.

Passo 4

Aplicando a transformada inversa \mathcal{L}^{-1} termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{2}{s+1}\Bigr\} = 2e^{-t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s+2}\Bigr\} = e^{-2t}.
Logo,
y(t) = 2e^{-t} \;-\; e^{-2t}.

Resposta

y(t) = 2e^{-t} - e^{-2t}.

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