Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=0 \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O problema é resolver a equação diferencial
y'' - 2y' + 2y = 0
com as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1 usando transformada de Laplace. Vamos transformar a EDO em uma equação algébrica em s.

Passo 2

Definimos Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Aplicando a transformada de Laplace em cada termo e usando as condições iniciais, temos:
\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0) = s^2Y(s) - 1,
\mathcal{L}\{-2y'\} = -2\bigl(sY(s) - y(0)\bigr) = -2s\,Y(s),
\mathcal{L}\{2y\} = 2Y(s).
Somando tudo dá
\bigl(s^2Y(s) - 1\bigr) - 2sY(s) + 2Y(s) = 0.

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s) e isolando:
(s^2 - 2s + 2)\,Y(s) - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{1}{s^2 - 2s + 2}.
Completa-se o quadrado no denominador:
s^2 - 2s + 2 = (s-1)^2 + 1,
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Y(s) = \frac{1}{(s-1)^2 + 1}.

Passo 4

Reconhecemos que
\mathcal{L}\{e^{t}\sin(t)\} = \frac{1}{(s-1)^2 + 1}.
Portanto a transformada inversa é
y(t) = e^{t}\sin(t).

Resposta

y(t) = e^{t}\sin(t)

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