Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-2 y=0 \\\ y(0)=2, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' - 2y' - 2y = 0
com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=0, usando transformada de Laplace.
Para isso vamos usar as propriedades
\mathcal{L}\{y'\}(s) = sY(s) - y(0), \quad \mathcal{L}\{y''\}(s) = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo de
y'' - 2y' - 2y = 0
obtemos
\bigl(s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0)\bigr) -2\bigl(sY(s) - y(0)\bigr) -2\,Y(s) =0.
Substituindo y(0)=2 e y'(0)=0 resulta
s^2Y(s) - 2s -2sY(s) +4 -2Y(s) =0.

Passo 3

Agrupando os termos que contêm Y(s) e isolando Y(s) temos
\bigl(s^2 - 2s -2\bigr)\,Y(s) -2s +4 =0 \quad\Longrightarrow\quad Y(s) =\frac{2s -4}{s^2 -2s -2} =\frac{2(s -2)}{(s -1)^2 -(\sqrt{3})^2}.

Passo 4

Escrevemos o numerador em função de s-1:
2(s -2) =2\bigl[(s -1)-1\bigr] =2(s -1)-2.
Então
Y(s) =\frac{2(s -1)}{(s -1)^2 -3} -\frac{2}{(s -1)^2 -3}.

Passo 5

Usamos as fórmulas inversas
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{s-a}{(s-a)^2 -b^2}\Bigr\}(t) =e^{at}\operatorname{cosh}(bt), \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{b}{(s-a)^2 -b^2}\Bigr\}(t) =e^{at}\operatorname{sinh}(bt).
Aqui a=1 e b=\sqrt{3}. Logo
y(t) =2\,e^{t}\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{3}\,t\bigr) -\frac{2}{\sqrt{3}}\,e^{t}\operatorname{sinh}\bigl(\sqrt{3}\,t\bigr).

Resposta

y(t) =e^{t}\Bigl(2\operatorname{cosh}(\sqrt{3}\,t)-\tfrac{2}{\sqrt{3}}\operatorname{sinh}(\sqrt{3}\,t)\Bigr).

Exercícios relacionados