Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=0 \\\ y(0)=2, y^{\prime}(0)=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 2y' + 5y = 0,\quad y(0)=2,\;y'(0)=-1
usando transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas
\mathcal{L}\{y'\} = sY(s) - y(0) e
\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0),
além de manipular álgebra em s e depois inverter a transformada.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo e usando as condições iniciais:
\mathcal{L}\{y''\} + 2\,\mathcal{L}\{y'\} + 5\,\mathcal{L}\{y\} = 0
\bigl(s^2Y(s) - s\cdot 2 - (-1)\bigr) \;+\; 2\bigl(sY(s) - 2\bigr)\;+\;5\,Y(s) = 0
Isso vira
s^2Y(s) - 2s +1 \;+\;2sY(s) -4 \;+\;5Y(s) = 0.

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s) e isolando:
\bigl(s^2 + 2s + 5\bigr)\,Y(s) \;+\;(-2s -3) = 0 \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{2s + 3}{s^2 + 2s + 5}.

Passo 4

Completo o quadrado no denominador e separo a fração:
s^2+2s+5 = (s+1)^2 + 4, \quad 2s+3 = 2(s+1) + 1.
Logo
Y(s) = \frac{2(s+1)}{(s+1)^2+4} + \frac{1}{(s+1)^2+4}.

Passo 5

Uso as transformadas inversas padrões:
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s+1}{(s+1)^2+2^2}\} = e^{-t}\cos(2t)
e
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{2}{(s+1)^2+2^2}\} = e^{-t}\sin(2t).
Assim,
y(t) = 2\,e^{-t}\cos(2t) + \tfrac12\,e^{-t}\sin(2t).

Resposta

y(t) = e^{-t}\Bigl(2\cos(2t) + \tfrac12\sin(2t)\Bigr).

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