Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=\cos t \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método da transformada de Laplace, o problema de valor inicial
\begin{cases} y'' -2y' +2y = \cos t,\\\ y(0)=1,\quad y'(0)=0.
O conteúdo usado será: transformada de Laplace de derivadas, álgebra para isolar Y(s), decomposição em frações parciais e transformada inversa.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo. Lembrando que
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),\quad \mathcal{L}\{y'\}(s)=s\,Y(s)-y(0),\quad \mathcal{L}\{\cos t\}(s)=\frac{s}{s^2+1},
temos
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot1-0\bigr)\;-\;2\bigl(sY(s)-1\bigr)\;+\;2Y(s) \;=\;\frac{s}{s^2+1}.

Passo 3

Reagrupando os termos em Y(s) e os constantes, obtemos
s^2Y(s)-s-2sY(s)+2+2Y(s)=\frac{s}{s^2+1} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)\,(s^2-2s+2)\;-\;(s-2)=\frac{s}{s^2+1}.
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Y(s)=\frac{\displaystyle \frac{s}{s^2+1}+s-2}{s^2-2s+2} =\frac{s^3-2s^2+2s-2}{(s^2+1)(s^2-2s+2)}.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais sobre os fatores irreduzíveis s^2+1 e (s-1)^2+1:
Y(s) =\frac{As+B}{s^2+1}+\frac{Cs+D}{(s-1)^2+1}.
Multiplicando ambos os lados por (s^2+1)(s^2-2s+2) e igualando coeficientes do polinômio
s^3-2s^2+2s-2 =(As+B)\,(s^2-2s+2)+(Cs+D)\,(s^2+1),
obtemos o sistema
\begin{cases} A+C=1,\\\\ -2A+B+D=-2,\\\\ 2A-2B+C=2,\\\\ 2B+D=-2. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo o sistema achamos
A=\tfrac15,\quad B=-\tfrac25,\quad C=\tfrac45,\quad D=-\tfrac65.
Assim
Y(s) =\frac{\tfrac15s-\tfrac25}{s^2+1} +\frac{\tfrac45s-\tfrac65}{(s-1)^2+1}.

Passo 6

Aplicamos a transformada inversa termo a termo. Para o primeiro quociente
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac15\frac{s}{s^2+1}\Bigr\}=\tfrac15\cos t, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{-\tfrac25\frac{1}{s^2+1}\Bigr\}=-\tfrac25\sin t.
Para o segundo, note que
\displaystyle\tfrac45s-\tfrac65 =\tfrac45(s-1)+\bigl(\tfrac45-\tfrac65\bigr) =\tfrac45(s-1)-\tfrac25,
então
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac45\frac{s-1}{(s-1)^2+1}\Bigr\} =\tfrac45e^{t}\cos t, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{-\tfrac25\frac{1}{(s-1)^2+1}\Bigr\} =-\tfrac25e^{t}\sin t.
Somando todos os termos, resulta
y(t) =\tfrac15\cos t-\tfrac25\sin t +\tfrac45e^{t}\cos t-\tfrac25e^{t}\sin t.

Resposta

y(t) =\frac{1}{5}\cos t-\frac{2}{5}\sin t +\frac{4}{5}e^{t}\cos t-\frac{2}{5}e^{t}\sin t.

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