Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=e^{-t} \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO
y''-2y'+2y=e^{-t},
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. Vamos usar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica em Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo, lembrando que
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), obtemos
\bigl(s^2Y(s)-0\cdot s -1\bigr)\;-\;2\bigl(sY(s)-0\bigr)\;+\;2Y(s) =\frac{1}{s+1}.
Isso simplifica para
\bigl(s^2-2s+2\bigr)Y(s)-1=\frac{1}{s+1} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{1+\tfrac{1}{s+1}}{s^2-2s+2} =\frac{s+2}{(s+1)\,(s^2-2s+2)}.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais
\frac{s+2}{(s+1)\bigl((s-1)^2+1\bigr)} =\frac{A}{s+1}+\frac{Bs+C}{(s-1)^2+1}.
Igualando numeradores:
s+2 =A\bigl((s-1)^2+1\bigr)+(Bs+C)(s+1),
chega-se a
A=\tfrac{1}{5},\quad B=-\tfrac{1}{5},\quad C=\tfrac{8}{5}.
Logo
Y(s) =\frac{1/5}{s+1} +\frac{-\tfrac{1}{5}s+\tfrac{8}{5}}{(s-1)^2+1} =\frac{1}{5}\,\frac{1}{s+1} -\frac{1}{5}\,\frac{s}{(s-1)^2+1} +\frac{8}{5}\,\frac{1}{(s-1)^2+1}.

Passo 4

Usamos as tabelas de transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+1}\}=e^{-t},
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s-1}{(s-1)^2+1}\}=e^{t}\cos t,
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s-1)^2+1}\}=e^{t}\sin t.
Para inverter o termo com s no numerador, escrevemos
\frac{s}{(s-1)^2+1} =\frac{s-1}{(s-1)^2+1}+\frac{1}{(s-1)^2+1}.
Portanto
y(t) =\frac{1}{5}e^{-t} -\frac{1}{5}\bigl(e^{t}\cos t+e^{t}\sin t\bigr) +\frac{8}{5}e^{t}\sin t =\frac{1}{5}e^{-t}-\frac{1}{5}e^{t}\cos t+\frac{7}{5}e^{t}\sin t.

Resposta

y(t)=\frac{1}{5}e^{-t}-\frac{1}{5}e^{t}\cos t+\frac{7}{5}e^{t}\sin t.

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