Use a transformada de Laplace para resolver os PVIs abaixo.
Passo 1
Beleza, temos uma equação diferencial de segunda ordem: $ y’’ - 5y’ + y = t $ com as condições iniciais $ y(0) = 3 $ e $ y’(0) = 0 $. Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver esse problema. Para isso, precisamos lembrar como transformar derivadas e resolver a equação no domínio da frequência.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Passo 3
Vamos calcular cada termo separadamente usando as propriedades da Transformada de Laplace:
- Transformada de $ y’’ $:
Substituindo as condições iniciais:
- Transformada de $ -5y’ $:
- Transformada de $ y $:
- Transformada de $ t $:
Passo 4
Juntando tudo na equação transformada:
Passo 5
Agora, vamos reunir os termos que envolvem $ Y(s) $:
Passo 6
Isolamos $ Y(s) $:
Passo 7
Para simplificar, vamos dividir cada termo separadamente:
Passo 8
Agora, precisamos fazer a inversa da Transformada de Laplace para encontrar $ y(t) $. Vamos usar frações parciais e tabelas de transformadas para isso. A inversa de cada termo será a solução da equação diferencial.
Passo 9
Após realizar as operações de inversa da Transformada de Laplace, obtemos a solução geral:
Passo 10
Simplificando a expressão final:
Resposta
A solução da equação diferencial é: