Use a transformada de Laplace para resolver os PVIs abaixo.
y^prime prime-5 y^prime+y=t, y(0)=3, y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, temos uma equação diferencial de segunda ordem: $ y’’ - 5y’ + y = t $ com as condições iniciais $ y(0) = 3 $ e $ y’(0) = 0 $. Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver esse problema. Para isso, precisamos lembrar como transformar derivadas e resolver a equação no domínio da frequência.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Ly'' - 5y' + y = Lt

Passo 3

Vamos calcular cada termo separadamente usando as propriedades da Transformada de Laplace:
  1. Transformada de $ y’’ $:
y''
Substituindo as condições iniciais:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
  1. Transformada de $ -5y’ $:
s^2 Y(s) - s cdot 3 - 0 = s^2 Y(s) - 3s
  1. Transformada de $ y $:
-5y'
  1. Transformada de $ t $:
L-5y' = -5 [s Y(s) - y(0)] = -5s Y(s) + 15

Passo 4

Juntando tudo na equação transformada:
s^2 Y(s) - 3s - 5s Y(s) + 15 + Y(s) = 1s^2

Passo 5

Agora, vamos reunir os termos que envolvem $ Y(s) $:
Y(s)

Passo 6

Isolamos $ Y(s) $:
Y(s)

Passo 7

Para simplificar, vamos dividir cada termo separadamente:
Y(s) = 3s - 15s^2 - 5s + 1 + 1s^2(s^2 - 5s + 1)

Passo 8

Agora, precisamos fazer a inversa da Transformada de Laplace para encontrar $ y(t) $. Vamos usar frações parciais e tabelas de transformadas para isso. A inversa de cada termo será a solução da equação diferencial.

Passo 9

Após realizar as operações de inversa da Transformada de Laplace, obtemos a solução geral:
y(t) = e^t(3 + 2t) + 11 t

Passo 10

Simplificando a expressão final:
y(t) = 3e^t + 2te^t + t

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 3e^t + 2te^t + t

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