Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
y^prime+y=f(t), y(0)=0,
f(t)=lll0, & se 0 <= t<1 5, & se t >= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. A equação é:
y^prime + y = f(t), y(0) = 0
E a função f(t) é definida de forma diferente dependendo do valor de t :
f(t) = 0, & se 0 <= t < 1 5, & se t >= 1
Vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos funções definidas por partes como essa. Precisamos lembrar das propriedades da transformada e como aplicá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de y^prime é:
Ly^prime = sY(s) - y(0)
Como y(0) = 0 , isso simplifica para sY(s) .
Aplicando a transformada na equação:
Ly^prime + Ly = Lf(t)
Substituindo:
sY(s) + Y(s) = Lf(t)

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão do lado esquerdo:
(s + 1)Y(s) = Lf(t)
Para encontrar Y(s) , precisamos dividir ambos os lados por s + 1 :
Y(s) = Lf(t)s + 1

Passo 4

Vamos calcular a transformada de f(t) . Como f(t) é uma função por partes, usamos a propriedade da transformada para funções definidas a partir de um certo tempo, usando a função degrau de Heaviside u(t - a) .
A função f(t) pode ser escrita como:
f(t) = 5u(t - 1)
Então, a transformada de Laplace de f(t) é:
Lf(t) = 5 cdot e^-ss

Passo 5

Substituindo Lf(t) na expressão de Y(s) :
Y(s) = 5e^-ss(s + 1)
Agora, precisamos fazer uma decomposição em frações parciais para facilitar a inversão da transformada.

Passo 6

Vamos decompor 1s(s + 1) em frações parciais:
1s(s + 1) = As + Bs + 1
Multiplicando ambos os lados por s(s + 1) :
1 = A(s + 1) + B(s)
Para encontrar A e B , podemos escolher valores de s :
  • Se s = 0 :
1 = A(0 + 1) Rightarrow A = 1
  • Se s = -1 :
1 = B(-1) Rightarrow B = -1
Então, a decomposição fica:
1s(s + 1) = 1s - 1s + 1

Passo 7

Voltando à expressão de Y(s) :
Y(s) = 5e^-s ( 1s - 1s + 1 )
Agora, podemos separar os termos:
Y(s) = 5e^-s cdot 1s - 5e^-s cdot 1s + 1

Passo 8

Para encontrar y(t) , precisamos fazer a inversa de Laplace de cada termo. A propriedade da função degrau nos diz que:
L^-1e^-asF(s) = f(t - a)u(t - a)
Aplicando isso aos termos:
  • Para e^-ss :
L^-1 e^-ss = u(t - 1)
  • Para e^-ss + 1 :
L^-1 e^-ss + 1 = e^-(t - 1)u(t - 1)

Passo 9

Portanto, somando os termos:
y(t) = 5u(t - 1) - 5e^-(t - 1)u(t - 1)
Podemos fatorar 5u(t - 1) :
y(t) = 5u(t - 1)(1 - e^-(t - 1))

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = 5u(t - 1)(1 - e^-(t - 1))

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