Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que temos):
O que se pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais usando a transformada de Laplace.
Informações dadas:
- A equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante
. - Condições iniciais
e .]
Passo 2
Definição e propriedades que vamos usar (aula rápida e prática):
- Definição da transformada de Laplace: para uma função
(crescimento apropriado),
onde
é a variável complexa da transformada. Aqui
é a imagem de
no domínio
.
- Propriedade para derivadas (muito útil para PVI):
onde
. Essas fórmulas reduzem derivadas a polinômios em
multiplicando
, e aparecem termos conhecidos com as condições iniciais.
- Transformada de funções simples que usaremos:
Explicando: por exemplo
e o resultado é
para
. Não precisa decorar tudo sem entender: lembra que multiplicar por
no tempo corresponde a derivar (com sinal) no domínio
; mas para a prova decorar as transformadas padrão ajuda.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace à equação diferencial:
Aplicamos em ambos os lados de
.
Aplicamos
Usando as fórmulas das derivadas:
Substituindo
e
, e
, e usando as condições iniciais
,
, obtemos:
Simplificando os zeros das condições iniciais:
Passo 4
Isolando
:
Fatoramos no lado esquerdo:
Fatoramos
Fator do polinômio em
:
Portanto
Agora a função no domínio
é uma fração racional; para inverter a Laplace vamos decompor em frações parciais.
Passo 5
Forma da decomposição em frações parciais:
Como o denominador tem fatores ,
e
, a decomposição padrão é
Como o denominador tem fatores
onde
são constantes a determinar.
Explicando o porquê: para um polo de ordem 2 em
usamos termos
; e para polos simples em
e
usamos
e
.
Passo 6
Encontrando os coeficientes
:
Multiplicamos ambos os lados por para obter uma identidade polinomial:
Multiplicamos ambos os lados por
Usamos valores estratégicos de
para achar coeficientes rapidamente.
- Tomando
:
- Tomando
:
- Tomando
:
- Para
podemos usar qualquer outro valor, por exemplo :
Substituindona identidade:
Calculando cada termo com os valores já conhecidos
:
Simplificando os termos numéricos:
Logo
Resumindo os coeficientes:
Passo 7
Escrevendo
com as frações parciais:
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando as transformadas padrão.
Passo 8
Invertendo a transformada de Laplace (voltando ao domínio do tempo):
Usando ,
,
,
, obtemos:
Usando
Portanto
Passo 9
Verificação rápida das condições iniciais (trapaça boa para testar erro):
-
conforme exigido. - Derivando
, temos . OK.
Pronto — chegamos à solução pedida. Manda ver revisando os passos e refazendo a decomposição parcial na prova se estiver inseguro — é um bom lugar onde normalmente escorrega gente com pressa.