Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em
Passo 1
O enunciado pede para resolver, no intervalo
Informações relevantes que já temos do enunciado:\n
- A equação diferencial é de ordem quatro, linear e homogênea:
e de suas três primeiras derivadas em
.\n
- Vamos usar a transformada de Laplace para resolver: isto significa transformar a equação em uma equação algébrica em, resolver para e então inverter a transformada.]
Passo 2
Definição e fórmula útil (aula rapidinha, passo a passo):\n
- A transformada de Laplace de uma função
é definida por
onde
é a variável complexa da transformada.\n
- Regra fundamental para derivadas (muito usada em PVI): para
inteiro não negativo,
Aqui cada termo
é a
-ésima derivada de
avaliada em
.\n
Explicando: essa fórmula transforma derivadas em potências de vezes
menos termos que vêm das condições iniciais. É por isso que a Laplace é ótima para PVI: ela incorpora as condições iniciais automaticamente.
Explicando: essa fórmula transforma derivadas em potências de
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace à equação.\n
Tomamos em ambos os lados de
. Usando a fórmula para derivadas:
Tomamos
Substituindo as condições iniciais
, obtemos
Também
(pois
é constante). Portanto a equação transformada fica:
Passo 4
Isolando
.\n
Juntando os termos com :
Juntando os termos com
Logo
Agora precisamos inverter essa transformada para obter
. Há duas opções: fazer decomposição em frações parciais ou reconhecer padrões de transformadas conhecidas. Vou usar reconhecimento porque é mais curto e elegante aqui.
Passo 5
Reconhecendo transformadas conhecidas.\n
Observe a fatoração
Observe a fatoração
As transformadas laplace conhecidas (e fáceis de lembrar) são:
Agora veja a combinação
No numerador:
. Então a combinação vira
Mas o lado direito é exatamente
. Portanto
Passo 6
Invertendo a transformada e verificando as condições iniciais (cheirinho de certeza).\n
Pelo que encontramos,
Pelo que encontramos,
Vamos checar rapidamente as condições iniciais (só para ganhar confiança):\n
-
. OK.\n -
então . OK.\n -
então . OK.\n -
então . OK.\n
Também verifica a equação porquee são ambas autovalores da derivada de quarta ordem com autovalor , isto é e igual para , logo .