Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+\infty)
\left\{\begin{array}{l}y^{i v}-k^{4} y=0 \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=y^{\prime \prime}(0)=y^{\prime \prime \prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, no intervalo [0,+\infty)\), o problema de valor inicial \[\begin{cases} y^{(4)} - k^{4}y = 0,\\[4pt] y(0)=1,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=0,\quad y^{(3)}(0)=0. \end{cases}
Informações relevantes que já temos do enunciado:\n
  • A equação diferencial é de ordem quatro, linear e homogênea: \;y^{(4)}-k^{4}y=0\].\n - As condições iniciais são os valores de \(y e de suas três primeiras derivadas em t=0.\n
    - Vamos usar a transformada de Laplace para resolver: isto significa transformar a equação em uma equação algébrica em s, resolver para Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e então inverter a transformada.]

Passo 2

Definição e fórmula útil (aula rapidinha, passo a passo):\n
  • A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida por
\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}y(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada.\n
  • Regra fundamental para derivadas (muito usada em PVI): para n inteiro não negativo,
\mathcal{L}\{y^{(n)}(t)\}=s^{n}Y(s)-s^{n-1}y(0)-s^{n-2}y'(0)-\cdots - y^{(n-1)}(0).
Aqui cada termo y^{(m)}(0) é a m-ésima derivada de y avaliada em 0.\n
Explicando: essa fórmula transforma derivadas em potências de s vezes Y(s) menos termos que vêm das condições iniciais. É por isso que a Laplace é ótima para PVI: ela incorpora as condições iniciais automaticamente.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace à equação.\n
Tomamos \mathcal{L} em ambos os lados de \;y^{(4)}-k^{4}y=0. Usando a fórmula para derivadas:
\mathcal{L}\{y^{(4)}\}=s^{4}Y(s)-s^{3}y(0)-s^{2}y'(0)-s y''(0)-y^{(3)}(0).
Substituindo as condições iniciais y(0)=1,\\ y'(0)=y''(0)=y^{(3)}(0)=0, obtemos
\mathcal{L}\{y^{(4)}\}=s^{4}Y(s)-s^{3}\cdot 1 -s^{2}\cdot 0 - s\cdot 0 - 0 = s^{4}Y(s)-s^{3}.
Também \mathcal{L}\{k^{4}y\}=k^{4}Y(s) (pois k é constante). Portanto a equação transformada fica:
s^{4}Y(s)-s^{3}-k^{4}Y(s)=0.

Passo 4

Isolando Y(s).\n
Juntando os termos com Y(s):
(s^{4}-k^{4})Y(s)=s^{3}.
Logo
Y(s)=\frac{s^{3}}{s^{4}-k^{4}}.
Agora precisamos inverter essa transformada para obter y(t). Há duas opções: fazer decomposição em frações parciais ou reconhecer padrões de transformadas conhecidas. Vou usar reconhecimento porque é mais curto e elegante aqui.

Passo 5

Reconhecendo transformadas conhecidas.\n
Observe a fatoração
s^{4}-k^{4}=(s^{2}-k^{2})(s^{2}+k^{2}).
As transformadas laplace conhecidas (e fáceis de lembrar) são:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(kt)\}=\frac{s}{s^{2}-k^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\cos(kt)\}=\frac{s}{s^{2}+k^{2}}.
Agora veja a combinação
\frac{1}{2}\left(\frac{s}{s^{2}-k^{2}}+\frac{s}{s^{2}+k^{2}}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{s(s^{2}+k^{2})+s(s^{2}-k^{2})}{(s^{2}-k^{2})(s^{2}+k^{2})}.
No numerador: s(s^{2}+k^{2})+s(s^{2}-k^{2})=2s^{3}. Então a combinação vira
\frac{1}{2}\left(\frac{s}{s^{2}-k^{2}}+\frac{s}{s^{2}+k^{2}}\right) =\frac{s^{3}}{s^{4}-k^{4}}.
Mas o lado direito é exatamente Y(s). Portanto
Y(s)=\frac{s^{3}}{s^{4}-k^{4}}=\frac{1}{2}\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(kt)\}+\frac{1}{2}\mathcal{L}\{\cos(kt)\}.

Passo 6

Invertendo a transformada e verificando as condições iniciais (cheirinho de certeza).\n
Pelo que encontramos,
y(t)=\frac{1}{2}\big(\operatorname{cosh}(kt)+\cos(kt)\big).
Vamos checar rapidamente as condições iniciais (só para ganhar confiança):\n
  • y(0)=\tfrac{1}{2}(\operatorname{cosh} 0+\cos 0)=\tfrac{1}{2}(1+1)=1. OK.\n
  • y'(t)=\tfrac{1}{2}(k\operatorname{sinh}(kt)-k\sin(kt)) então y'(0)=\tfrac{k}{2}(0-0)=0. OK.\n
  • y''(t)=\tfrac{1}{2}(k^{2}\operatorname{cosh}(kt)-k^{2}\cos(kt)) então y''(0)=\tfrac{k^{2}}{2}(1-1)=0. OK.\n
  • y^{(3)}(t)=\tfrac{1}{2}(k^{3}\operatorname{sinh}(kt)+k^{3}\sin(kt)) então y^{(3)}(0)=0. OK.\n
    Também verifica a equação porque \operatorname{cosh}(kt) e \cos(kt) são ambas autovalores da derivada de quarta ordem com autovalor k^{4}, isto é \frac{d^{4}}{dt^{4}}\operatorname{cosh}(kt)=k^{4}\operatorname{cosh}(kt) e igual para \cos(kt), logo y^{(4)}-k^{4}y=0.

Resposta

y(t)=\dfrac{1}{2}\big(\operatorname{cosh}(kt)+\cos(kt)\big)

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