Use translação para representar geometricamente as funções:
y=3 x^{2}+9 x;

Passo 1

O enunciado pede: representar geometricamente a função y=3x^{2}+9x usando translações (ou seja, escrever o gráfico como uma transformação do gráfico da parábola básica e dizer quais arestas/novos pontos aparecem). As informações dadas são:
  • A função é y=3x^{2}+9x.
  • Precisa-se mostrar, passo a passo, como obter o gráfico a partir do gráfico de referência (por exemplo y=x^{2}) usando translações e escalamentos.

Passo 2

Vamos reescrever a função na forma vértice (forma canônica) por completar o quadrado — isso mostra a translação diretamente. Começo fatorando o coeficiente de x^{2}:
y=3x^{2}+9x=3\bigl(x^{2}+3x\bigr).
Agora completo o quadrado dentro do parêntese. Para x^{2}+3x a metade do coeficiente de x é \tfrac{3}{2}, então
x^{2}+3x=\bigl(x+\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}=\bigl(x+\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{9}{4}.
Substituindo na expressão:
y=3\left(\bigl(x+\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{9}{4}\right)=3\bigl(x+\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}-3\cdot\tfrac{9}{4}.
Calculo o último produto:
3\cdot\tfrac{9}{4}=\tfrac{27}{4}.
Portanto a forma vértice é
y=3\bigl(x+\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{27}{4}.

Passo 3

Interpretação da forma vértice y=a(x-h)^{2}+k:
  • a indica abertura e esticamento vertical (se |a|>1 a parábola fica mais “estreita” que y=x^{2}); aqui a=3.
  • h é a translação horizontal com sinal trocado (o termo é x-h); aqui temos x+\tfrac{3}{2}, então h=-\tfrac{3}{2}.
  • k é a translação vertical; aqui k=-\tfrac{27}{4}.
Logo o vértice da parábola é
\text{vértice }(h,k)=\left(-\tfrac{3}{2}, -\tfrac{27}{4}\right).é
A parábola abre para cima porque a=3>0. Como |a|=3>1, ela é mais estreita que y=x^{2}.

Passo 4

Descrever a transformação como sequência aplicada ao gráfico de referência y=x^{2}. Uma sequência conveniente (fácil para desenhar) é:
  1. Começar com y=x^{2}.
  2. Transladar horizontalmente para a esquerda em \tfrac{3}{2} unidades para obter y=\bigl(x+\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}.
  3. Aplicar esticamento vertical por fator 3 (multiplicar por 3) para obter y=3\bigl(x+\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}. Isso deixa a parábola mais estreita.
  4. Transladar verticalmente para baixo em \tfrac{27}{4} unidades para obter y=3\bigl(x+\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{27}{4}.
Explicando por que essa ordem funciona: a translação horizontal é aplicada dentro do quadrado (afeta x), o esticamento vertical multiplica toda a expressão quadrática, e a última translação vertical desloca o gráfico resultante para baixo. O vértice do y=x^{2}, que era (0,0), segue essas três operações e vai para \left(-\tfrac{3}{2},-\tfrac{27}{4}\right).

Passo 5

Para auxiliar o esboço, calcule pontos importantes (usei as expressões originais e fatoradas):
  • Zeros (raízes): fatorando y=3x^{2}+9x=3x(x+3). Logo x=0 e x=-3 são interceptos com o eixo x. Então pontos \left(0,0\right) e \left(-3,0\right).
  • Intercepto com y: em x=0 tem y(0)=0, já listado.
  • Alguns pontos simétricos em torno da reta de simetria x=-\tfrac{3}{2}: calcule x=-1 e x=-2. y(-1)=3(-1)^{2}+9(-1)=3-9=-6,
y(-2)=3(-2)^{2}+9(-2)=12-18=-6.
Assim (-1,-6) e (-2,-6) são pontos simétricos em relação ao eixo de simetria.
  • Eixo de simetria: x=h=-\tfrac{3}{2}.
Com esses pontos e o vértice, já dá para esboçar a parábola: marca o vértice \left(-\tfrac{3}{2},-\tfrac{27}{4}\right), marca os zeros \left(0,0\right) e \left(-3,0\right), marca (-1,-6) e (-2,-6) para ver a curvatura, e desenha uma parábola abrindo para cima mais estreita que y=x^{2}.

Passo 6

Resumo prático para desenhar na prova (passo a passo):
  • Escreva y=3\bigl(x+\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{27}{4}.
  • Plote o vértice \left(-\tfrac{3}{2},-\tfrac{27}{4}\right).
  • Trace a reta de simetria x=-\tfrac{3}{2}.
  • Marque os zeros (0,0) e (-3,0).
  • Marque pontos auxiliares (-1,-6) e (-2,-6).
  • Desenhe a parábola abrindo para cima, mais estreita que y=x^{2}, passando por esses pontos.
Força aí — com a forma vértice e esses pontos fica rápido de desenhar na prova!

Resposta

y=3\bigl(x+\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{27}{4}\nVértice: \left(-\tfrac{3}{2},-\tfrac{27}{4}\right)\nEixo de simetria: x=-\tfrac{3}{2}\nZeros: x=0 e x=-3\nTransformações a partir de y=x^{2}: translação à esquerda de \tfrac{3}{2}, esticamento vertical por 3, translação para baixo de \tfrac{27}{4}.

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