Use translação para representar geometricamente as funções:
;
Passo 1
O enunciado pede: representar geometricamente a função
usando translações (ou seja, escrever o gráfico como uma transformação do gráfico da parábola básica e dizer quais arestas/novos pontos aparecem). As informações dadas são:
- A função é
. - Precisa-se mostrar, passo a passo, como obter o gráfico a partir do gráfico de referência (por exemplo
) usando translações e escalamentos.
Passo 2
Vamos reescrever a função na forma vértice (forma canônica) por completar o quadrado — isso mostra a translação diretamente. Começo fatorando o coeficiente de
:
Agora completo o quadrado dentro do parêntese. Para
a metade do coeficiente de
é
, então
Substituindo na expressão:
Calculo o último produto:
Portanto a forma vértice é
Passo 3
Interpretação da forma vértice
:
-
indica abertura e esticamento vertical (se a parábola fica mais “estreita” que ); aqui . -
é a translação horizontal com sinal trocado (o termo é ); aqui temos , então . -
é a translação vertical; aqui .
Logo o vértice da parábola é
A parábola abre para cima porque
. Como
, ela é mais estreita que
.
Passo 4
Descrever a transformação como sequência aplicada ao gráfico de referência
. Uma sequência conveniente (fácil para desenhar) é:
- Começar com
. - Transladar horizontalmente para a esquerda em
unidades para obter . - Aplicar esticamento vertical por fator
(multiplicar por ) para obter . Isso deixa a parábola mais estreita. - Transladar verticalmente para baixo em
unidades para obter .
Explicando por que essa ordem funciona: a translação horizontal é aplicada dentro do quadrado (afeta
), o esticamento vertical multiplica toda a expressão quadrática, e a última translação vertical desloca o gráfico resultante para baixo. O vértice do
, que era
, segue essas três operações e vai para
.
Passo 5
Para auxiliar o esboço, calcule pontos importantes (usei as expressões originais e fatoradas):
- Zeros (raízes): fatorando
. Logo e são interceptos com o eixo . Então pontos e . - Intercepto com
: em tem , já listado. - Alguns pontos simétricos em torno da reta de simetria
: calcule e .
Assim
e
são pontos simétricos em relação ao eixo de simetria.
- Eixo de simetria:
.
Com esses pontos e o vértice, já dá para esboçar a parábola: marca o vértice
, marca os zeros
e
, marca
e
para ver a curvatura, e desenha uma parábola abrindo para cima mais estreita que
.
Passo 6
Resumo prático para desenhar na prova (passo a passo):
- Escreva
. - Plote o vértice
. - Trace a reta de simetria
. - Marque os zeros
e . - Marque pontos auxiliares
e . - Desenhe a parábola abrindo para cima, mais estreita que
, passando por esses pontos.
Força aí — com a forma vértice e esses pontos fica rápido de desenhar na prova!