Use os valores conhecidos da função \sin (x) em x=0, \pi / 6, \pi / 4, \pi / 3 e \pi / 2 para derivar um polinômio interpolador p(x).
  • Qual é o grau do seu polinômio?
  • Qual é a magnitude do erro de interpolação |p(1.2)-\sin (1.2)| ?

Passo 1

O enunciado pede que eu construa um polinômio interpolador p(x) usando os valores conhecidos de \sin(x) nos pontos
x_0=0,\quad x_1=\frac{\pi}{6},\quad x_2=\frac{\pi}{4},\quad x_3=\frac{\pi}{3},\quad x_4=\frac{\pi}{2}.
Os valores correspondentes (tomados da função \sin) são
y_0=\sin(0)=0,\quad y_1=\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2},\quad y_2=\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},
y_3=\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad y_4=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.
As perguntas específicas são:
  1. Qual é o grau do polinômio interpolador p(x) construído com esses pontos?
  2. Qual é a magnitude do erro de interpolação \left|p(1.2)-\sin(1.2)\right|?

Passo 2

Vou usar a forma de Lagrange para construir p(x). Por que Lagrange? Porque temos poucos pontos distintos e a fórmula é direta e elementar: não exige resolver sistemas, só usar produtos. A fórmula geral é:
p(x)=\sum_{k=0}^{4} y_k\,\ell_k(x),
onde cada polinômio base de Lagrange \ell_k(x) é
\ell_k(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\neq k}}^{4}\frac{x-x_j}{x_k-x_j}.
Explicando: x_j são os nós dados; y_k=\sin(x_k) é o valor da função no nó x_k. Cada \ell_k(x) vale 1 em x=x_k e vale 0 nos outros nós, por isso a combinação acima reproduz os valores desejados.

Passo 3

Agora escrevo explicitamente o polinômio interpolador na forma de Lagrange, substituindo os nós e os valores:
p(x)=0\cdot\ell_0(x)+\frac{1}{2}\ell_1(x)+\frac{\sqrt{2}}{2}\ell_2(x)+\frac{\sqrt{3}}{2}\ell_3(x)+1\cdot\ell_4(x),
com
\ell_0(x)=\frac{(x-\frac{\pi}{6})(x-\frac{\pi}{4})(x-\frac{\pi}{3})(x-\frac{\pi}{2})}{(0-\frac{\pi}{6})(0-\frac{\pi}{4})(0-\frac{\pi}{3})(0-\frac{\pi}{2})},
\ell_1(x)=\frac{(x-0)(x-\frac{\pi}{4})(x-\frac{\pi}{3})(x-\frac{\pi}{2})}{(\frac{\pi}{6}-0)(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4})(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3})(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2})},
\ell_2(x)=\frac{(x-0)(x-\frac{\pi}{6})(x-\frac{\pi}{3})(x-\frac{\pi}{2})}{(\frac{\pi}{4}-0)(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6})(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3})(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2})},
\ell_3(x)=\frac{(x-0)(x-\frac{\pi}{6})(x-\frac{\pi}{4})(x-\frac{\pi}{2})}{(\frac{\pi}{3}-0)(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6})(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2})},
\ell_4(x)=\frac{(x-0)(x-\frac{\pi}{6})(x-\frac{\pi}{4})(x-\frac{\pi}{3})}{(\frac{\pi}{2}-0)(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6})(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4})(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})}.
Isto é um polinômio em x de grau no máximo 4 (produto de quatro fatores em cada \ell_k), e é a expressão explícita (forma Lagrange) do interpolador pedido. Se for necessário, pode-se expandir esses produtos e combinar os coeficientes para obter a forma polinomial p(x)=a_4x^4+a_3x^3+\dots+a_0, mas a forma de Lagrange já é uma derivação completa do polinômio interpolador a partir dos pontos dados.

Passo 4

Qual o grau do polinômio? Temos 5 pontos distintos, logo o polinômio interpolador único tem grau no máximo 4 (número de nós menos 1). Como os nós são distintos e a função seno não é um polinômio de grau menor que 4 ajustando todos esses pontos, o polinômio resultante tem grau exatamente \,4 (ou seja, grau \le 4, neste contexto prático: grau 4).

Passo 5

Agora estimamos a magnitude do erro \left|p(1.2)-\sin(1.2)\right|. A fórmula do resto da interpolação de Lagrange (para um polinômio de grau 4 construído com cinco nós) é
R_4(x)=f(x)-p(x)=\frac{f^{(5)}(\xi)}{5!}\prod_{j=0}^{4}(x-x_j)
para algum \xi entre os nós (dependendo de x). Aqui f(x)=\sin(x). Observações importantes:
  • A quinta derivada de \sin é \sin^{(5)}(x)=\cos(x), e |\cos(x)|\le 1 para todo x.
  • Portanto um limite (cota) para o erro absoluto é
\left|R_4(x)\right|\le \frac{1}{5!}\left|\prod_{j=0}^{4}(x-x_j)\right|.
Aplicamos isso em x=1.2. Primeiro calculo os fatores (1.2-x_j):
\begin{aligned} 1.2-x_0&=1{,}2,\\\\ 1.2-x_1&=1{,}2-\frac{\pi}{6}\approx 0{,}6764012244017011,\\\\ 1.2-x_2&=1{,}2-\frac{\pi}{4}\approx 0{,}4146018366025517,\\\\ 1.2-x_3&=1{,}2-\frac{\pi}{3}\approx 0{,}1528024488034023,\\\\ 1.2-x_4&=1{,}2-\frac{\pi}{2}\approx -0{,}3707963267948966. \end{aligned}
O produto absoluto é
\left|\prod_{j=0}^{4}(1.2-x_j)\right|\approx 1{,}2\times 0{,}6764012244\times 0{,}4146018366\times 0{,}1528024488\times 0{,}3707963268 \approx 0{,}01906805.
Logo a cota para o erro é
\left|p(1.2)-\sin(1.2)\right| =\left|R_4(1.2)\right| \le \frac{0{,}01906805}{5!}=\frac{0{,}01906805}{120}\approx 1{,}589\times 10^{-4}.
Isto significa que o erro de interpolação em x=1.2 é menor que aproximadamente 1{,}6\times 10^{-4}. (Se se desejasse o valor exato de p(1.2) poderia-se avaliar numericamente a expressão de Lagrange acima com aritmética de precisão; aqui dei a cota garantida pelo resto.)

Resposta

Grau do polinômio: 4
Magnitude do erro: \left|p(1.2)-\sin(1.2)\right|\le 1{,}589\times 10^{-4}

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