Qual é o grau do polinômio interpolador p(x) construído com esses pontos?
Qual é a magnitude do erro de interpolação \left|p(1.2)-\sin(1.2)\right|?
Passo 2
Vou usar a forma de Lagrange para construir p(x). Por que Lagrange? Porque temos poucos pontos distintos e a fórmula é direta e elementar: não exige resolver sistemas, só usar produtos. A fórmula geral é:
Explicando: x_j são os nós dados; y_k=\sin(x_k) é o valor da função no nó x_k. Cada \ell_k(x) vale 1 em x=x_k e vale 0 nos outros nós, por isso a combinação acima reproduz os valores desejados.
Passo 3
Agora escrevo explicitamente o polinômio interpolador na forma de Lagrange, substituindo os nós e os valores:
Isto é um polinômio em x de grau no máximo 4 (produto de quatro fatores em cada \ell_k), e é a expressão explícita (forma Lagrange) do interpolador pedido. Se for necessário, pode-se expandir esses produtos e combinar os coeficientes para obter a forma polinomial p(x)=a_4x^4+a_3x^3+\dots+a_0, mas a forma de Lagrange já é uma derivação completa do polinômio interpolador a partir dos pontos dados.
Passo 4
Qual o grau do polinômio? Temos 5 pontos distintos, logo o polinômio interpolador único tem grau no máximo 4 (número de nós menos 1). Como os nós são distintos e a função seno não é um polinômio de grau menor que 4 ajustando todos esses pontos, o polinômio resultante tem grau exatamente \,4 (ou seja, grau \le 4, neste contexto prático: grau 4).
Passo 5
Agora estimamos a magnitude do erro \left|p(1.2)-\sin(1.2)\right|. A fórmula do resto da interpolação de Lagrange (para um polinômio de grau 4 construído com cinco nós) é
Isto significa que o erro de interpolação em x=1.2 é menor que aproximadamente 1{,}6\times 10^{-4}. (Se se desejasse o valor exato de p(1.2) poderia-se avaliar numericamente a expressão de Lagrange acima com aritmética de precisão; aqui dei a cota garantida pelo resto.)
Resposta
Grau do polinômio: 4
Magnitude do erro: \left|p(1.2)-\sin(1.2)\right|\le 1{,}589\times 10^{-4}