Dado os quatro pontos (x, y)=(-1,1),(0,1),(1,2),(2,0), determine o polinômio cúbico interpolador
  • usando a forma de Lagrange;
  • usando a forma de Newton.
  • usando a forma de Vermonde;
Mostre que as três representações fornecem o mesmo polinômio.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o polinômio cúbico interpolador para os quatro pontos dados usando três representações diferentes — Lagrange, Newton e Vandermonde — e que eu mostre que as três dão o mesmo polinômio.\n
Pontos fornecidos (dados do enunciado): (-1,1), (0,1), (1,2), (2,0).\n
Perguntas explícitas a responder: encontrar o polinômio interpolador na forma de Lagrange, na forma de Newton e resolvendo o sistema de Vandermonde; e mostrar que as três formas fornecem o mesmo polinômio.

Passo 2

Forma de Lagrange — explicação da ideia e fórmula.\n
A forma de Lagrange constrói o polinômio interpolador P(x) como combinação linear dos valores y_i com funções base \ell_i(x) tais que \ell_i(x_j)=\delta_{ij} (ou seja, \ell_i vale 1 em x_i e 0 nos outros x_j). A fórmula é
P(x)=\sum_{i=0}^{3} y_i \,\ell_i(x),
\ell_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\neq i}}^{3}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Aqui tomo a ordem dos pontos como x_0=-1,y_0=1; x_1=0,y_1=1; x_2=1,y_2=2; x_3=2,y_3=0.

Passo 3

Calcular as funções base \ell_i(x) explicitamente (detalhando denominadores e numeradores).\n
Para i=0 (ponto (-1,1)):
\ell_0(x)=\frac{(x-0)(x-1)(x-2)}{(-1-0)(-1-1)(-1-2)} =\frac{x(x-1)(x-2)}{(-1)(-2)(-3)} =-\tfrac{1}{6}x(x-1)(x-2).
Para i=1 (ponto (0,1)):
\ell_1(x)=\frac{(x+1)(x-1)(x-2)}{(0+1)(0-1)(0-2)} =\frac{(x+1)(x-1)(x-2)}{1\cdot(-1)\cdot(-2)} =\tfrac{1}{2}(x+1)(x-1)(x-2).
Para i=2 (ponto (1,2)):
\ell_2(x)=\frac{(x+1)(x-0)(x-2)}{(1+1)(1-0)(1-2)} =\frac{x(x+1)(x-2)}{2\cdot1\cdot(-1)} =-\tfrac{1}{2}x(x+1)(x-2).
Para i=3 (ponto (2,0)):
\ell_3(x)=\frac{(x+1)x(x-1)}{(2+1)(2-0)(2-1)} =\frac{(x+1)x(x-1)}{3\cdot2\cdot1} =\tfrac{1}{6}(x+1)x(x-1).

Passo 4

Montar P(x) usando os valores y_i e simplificar (Lagrange).\n
A fórmula dá
P(x)=1\cdot\ell_0(x)+1\cdot\ell_1(x)+2\cdot\ell_2(x)+0\cdot\ell_3(x).
Substituindo as \ell_i:
P(x)=-\tfrac{1}{6}x(x-1)(x-2)+\tfrac{1}{2}(x+1)(x-1)(x-2)+2\!\left(-\tfrac{1}{2}x(x+1)(x-2)\right).
Simplificando o último termo:
P(x)=-\tfrac{1}{6}x(x-1)(x-2)+\tfrac{1}{2}(x+1)(x-1)(x-2)-x(x+1)(x-2).
Para comparar com as outras formas, expando os produtos passo a passo (mostrando cada expansão):
x(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2x,
(x+1)(x-1)(x-2)=x^3-2x^2-x+2,
x(x+1)(x-2)=x^3-x^2-2x.
Agora aplico os coeficientes e somo:
P(x)=-\tfrac{1}{6}(x^3-3x^2+2x)+\tfrac{1}{2}(x^3-2x^2-x+2)-1\cdot(x^3-x^2-2x).
Calculando termo a termo (detalhe das somas):
coeficiente de x^3: -\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{2}{3}.\n
coeficiente de x^2: \tfrac{1}{2}-1+1=\tfrac{1}{2}.\n
coeficiente de x: -\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{2}+2=\tfrac{7}{6}.\n
termo constante: só vem de \tfrac{1}{2}\cdot2=1. Portanto,
P(x)=-\tfrac{2}{3}x^3+\tfrac{1}{2}x^2+\tfrac{7}{6}x+1.

Passo 5

Forma de Newton — explicação da ideia e tabela de diferenças divididas.\n
A forma de Newton usa coeficientes que são diferenças divididas e escreve
P(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2).
Vou usar a mesma ordem de pontos: x_0=-1,x_1=0,x_2=1,x_3=2 com f[x_i]=y_i.

Passo 6

Calcular diferenças divididas (passo a passo) e montar o polinômio de Newton.\n
Valores iniciais:
f[x_0]=1,\quad f[x_1]=1,\quad f[x_2]=2,\quad f[x_3]=0.
Diferenças de primeira ordem:
f[x_0,x_1]=\frac{1-1}{0-(-1)}=0,
f[x_1,x_2]=\frac{2-1}{1-0}=1,
f[x_2,x_3]=\frac{0-2}{2-1}=-2.
Diferenças de segunda ordem:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{1-0}{1-(-1)}=\tfrac{1}{2},
f[x_1,x_2,x_3]=\frac{-2-1}{2-0}=-\tfrac{3}{2}.
Diferença de terceira ordem:
f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{-\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{2}}{2-(-1)}=\frac{-2}{3}=-\tfrac{2}{3}.
Logo a forma de Newton é
P(x)=1+0\cdot(x+1)+\tfrac{1}{2}(x+1)(x)+\left(-\tfrac{2}{3}\right)(x+1)x(x-1).
Simplificando os termos nulos:
P(x)=1+\tfrac{1}{2}x(x+1)-\tfrac{2}{3}x(x+1)(x-1).
Se eu expandir isto (faça o mesmo tipo de expansão visto no Passo 4), obtenho exatamente
P(x)=-\tfrac{2}{3}x^3+\tfrac{1}{2}x^2+\tfrac{7}{6}x+1,
o mesmo polinômio encontrado na forma de Lagrange.

Passo 7

Forma de Vandermonde — montar o sistema linear e resolver (mostrando cada passo).\n
A forma padrão (coeficientes a,b,c,d em ax^3+bx^2+cx+d) gera o sistema com as quatro condições:
para x=-1:
-a+b-c+d=1,
para x=0:
d=1,
para x=1:
a+b+c+d=2,
para x=2:
8a+4b+2c+d=0.
Da segunda equação já temos d=1. Substituo d nas outras três:
-a+b-c+1=1 \Rightarrow -a+b-c=0 \Rightarrow b=a+c,
a+b+c+1=2 \Rightarrow a+b+c=1,
8a+4b+2c+1=0 \Rightarrow 8a+4b+2c=-1.
Usando b=a+c na equação a+b+c=1:
a+(a+c)+c=1 \Rightarrow 2a+2c=1 \Rightarrow a+c=\tfrac{1}{2}.
Então c=\tfrac{1}{2}-a e b=a+c=\tfrac{1}{2}. Substituo em 8a+4b+2c=-1:
8a+4\cdot\tfrac{1}{2}+2\left(\tfrac{1}{2}-a\right)=-1.
Calculando:
8a+2+1-2a=-1 \Rightarrow 6a+3=-1 \Rightarrow 6a=-4 \Rightarrow a=-\tfrac{2}{3}.
Então
c=\tfrac{1}{2}-\left(-\tfrac{2}{3}\right)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{2}{3}=\tfrac{7}{6},
e
b=\tfrac{1}{2},\qquad d=1.
Portanto o polinômio obtido pela solução do sistema de Vandermonde é
P(x)=-\tfrac{2}{3}x^3+\tfrac{1}{2}x^2+\tfrac{7}{6}x+1,
idêntico aos resultados anteriores.

Passo 8

Conclusão e verificação final — mostrar que as três representações coincidem.\n
  • Na forma de Lagrange obtive, antes de expandir, uma expressão em somas de termos do tipo \ell_i(x) que, ao expandir, deu exatamente -\tfrac{2}{3}x^3+\tfrac{1}{2}x^2+\tfrac{7}{6}x+1.\n
  • Na forma de Newton a expressão com diferenças divididas também, ao expandir, dá o mesmo polinômio -\tfrac{2}{3}x^3+\tfrac{1}{2}x^2+\tfrac{7}{6}x+1.\n
  • Resolvendo o sistema de Vandermonde os coeficientes (a,b,c,d)=\left(-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{2},\tfrac{7}{6},1\right) produzem o mesmo polinômio.\n
    Como checagem rápida, avaliando P(x) em x=-1,0,1,2 1,1,2,0 respectivamente, isto é, os quatro pontos originais são interpolados. Logo as três representações produzem exatamente o mesmo polinômio cúbico.

Resposta

Forma de Lagrange: P(x)=-\tfrac{1}{6}x(x-1)(x-2)+\tfrac{1}{2}(x+1)(x-1)(x-2)-x(x+1)(x-2)\n
Forma de Newton: P(x)=1+\tfrac{1}{2}x(x+1)-\tfrac{2}{3}x(x+1)(x-1)\n
Forma de Vandermonde (forma polinomial standard): P(x)=-\tfrac{2}{3}x^3+\tfrac{1}{2}x^2+\tfrac{7}{6}x+1

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