Dado os quatro pontos
, determine o polinômio cúbico interpolador
- usando a forma de Lagrange;
- usando a forma de Newton.
- usando a forma de Vermonde;
Mostre que as três representações fornecem o mesmo polinômio.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o polinômio cúbico interpolador para os quatro pontos dados usando três representações diferentes — Lagrange, Newton e Vandermonde — e que eu mostre que as três dão o mesmo polinômio.\n
Pontos fornecidos (dados do enunciado): ,
,
,
.\n
Perguntas explícitas a responder: encontrar o polinômio interpolador na forma de Lagrange, na forma de Newton e resolvendo o sistema de Vandermonde; e mostrar que as três formas fornecem o mesmo polinômio.
Pontos fornecidos (dados do enunciado):
Perguntas explícitas a responder: encontrar o polinômio interpolador na forma de Lagrange, na forma de Newton e resolvendo o sistema de Vandermonde; e mostrar que as três formas fornecem o mesmo polinômio.
Passo 2
Forma de Lagrange — explicação da ideia e fórmula.\n
A forma de Lagrange constrói o polinômio interpolador como combinação linear dos valores
com funções base
tais que
(ou seja,
vale 1 em
e 0 nos outros
). A fórmula é
A forma de Lagrange constrói o polinômio interpolador
Aqui tomo a ordem dos pontos como
;
;
;
.
Passo 3
Calcular as funções base
explicitamente (detalhando denominadores e numeradores).\n
Para (ponto
):
Para
Para
(ponto
):
Para
(ponto
):
Para
(ponto
):
Passo 4
Montar
usando os valores
e simplificar (Lagrange).\n
A fórmula dá
A fórmula dá
Substituindo as
:
Simplificando o último termo:
Para comparar com as outras formas, expando os produtos passo a passo (mostrando cada expansão):
Agora aplico os coeficientes e somo:
Calculando termo a termo (detalhe das somas):
coeficiente de :
.\n
coeficiente de :
.\n
coeficiente de :
.\n
termo constante: só vem de . Portanto,
coeficiente de
coeficiente de
coeficiente de
termo constante: só vem de
Passo 5
Forma de Newton — explicação da ideia e tabela de diferenças divididas.\n
A forma de Newton usa coeficientes que são diferenças divididas e escreve
A forma de Newton usa coeficientes que são diferenças divididas e escreve
Vou usar a mesma ordem de pontos:
com
.
Passo 6
Calcular diferenças divididas (passo a passo) e montar o polinômio de Newton.\n
Valores iniciais:
Valores iniciais:
Diferenças de primeira ordem:
Diferenças de segunda ordem:
Diferença de terceira ordem:
Logo a forma de Newton é
Simplificando os termos nulos:
Se eu expandir isto (faça o mesmo tipo de expansão visto no Passo 4), obtenho exatamente
o mesmo polinômio encontrado na forma de Lagrange.
Passo 7
Forma de Vandermonde — montar o sistema linear e resolver (mostrando cada passo).\n
A forma padrão (coeficientes em
) gera o sistema com as quatro condições:
para :
A forma padrão (coeficientes
para
para
:
para
:
para
:
Da segunda equação já temos
. Substituo
nas outras três:
Usando
na equação
:
Então
e
. Substituo em
:
Calculando:
Então
e
Portanto o polinômio obtido pela solução do sistema de Vandermonde é
idêntico aos resultados anteriores.
Passo 8
Conclusão e verificação final — mostrar que as três representações coincidem.\n
- Na forma de Lagrange obtive, antes de expandir, uma expressão em somas de termos do tipo
que, ao expandir, deu exatamente .\n - Na forma de Newton a expressão com diferenças divididas também, ao expandir, dá o mesmo polinômio
.\n - Resolvendo o sistema de Vandermonde os coeficientes
produzem o mesmo polinômio.\n
Como checagem rápida, avaliandoem dá respectivamente, isto é, os quatro pontos originais são interpolados. Logo as três representações produzem exatamente o mesmo polinômio cúbico.
Resposta
Forma de Lagrange:
\n
Forma de Newton: \n
Forma de Vandermonde (forma polinomial standard):
Forma de Newton:
Forma de Vandermonde (forma polinomial standard):