Sabe-se que ao longo da linha vermelha a velocidade máxima permitida é de
e foram colocados radares para medir a velocidade instantânea dos carros em alguns pontos. Suponha que em um trecho de 10km o motorista verificou o velocímetro de seu carro e obteve os dados da seguinte tabela:
Km
o
2
4
6
8
10
Velocidade
80
85
88
92
85
80
Considere um radar posicionado no quarto quilômetro do trecho. Usando um polinômio interpolador de grau 2, calcule o valor aproximado da velocidade no quinto quilômetro e a estimativa de erro cometido. Use os quilômetros 2, 4 e 6 para construir o polinômio e de o a 8 para estimar o erro.
| Km | o | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| Velocidade
|
80 | 85 | 88 | 92 | 85 | 80 |
Passo 1
O enunciado dá uma medição de velocidade em vários quilômetros ao longo de um trecho de
. Os dados relevantes são (peguei estes dados da tabela do enunciado):
O que o exercício pede:
- Usar os quilômetros
para construir um polinômio interpolador de grau e calcular a velocidade aproximada no quilômetro . - Estimar o erro cometido nessa aproximação usando os pontos de
a (ou seja, usar os dados até e para estimar o termo restante).
Passo 2
Vamos construir o polinômio interpolador de grau
usando a forma de Lagrange, porque é direta para obter o valor em um ponto (a prova pode pedir isso sem calculadora). A forma geral do polinômio de Lagrange para nós, com nós
,
,
e valores
,
,
, é:
onde cada base de Lagrange é
Vou usar isso para calcular
.
Passo 3
Calculemos cada
passo a passo.
Para
:
Contribuição ao polinômio:
Para
:
Contribuição:
Para
:
Contribuição:
Passo 4
Somando as contribuições temos:
Logo a velocidade aproximada no quilômetro
dada pelo polinômio quadrático construído a partir dos pontos
é
Passo 5
Agora a estimativa de erro. A fórmula do resto da interpolação de grau
(neste caso
) é, para algum
no intervalo que contém os nós,
onde
. Em particular, em
,
Não conhecemos
, mas podemos estimar
por uma diferença dividida de ordem
calculada a partir de quatro pontos distintos dentro do intervalo. Uma escolha prática (pedida no enunciado) é usar os pontos
para calcular a diferença dividida de ordem
:
para algum
no intervalo, e então usar esse valor numérico como aproximação para
.
Passo 6
Vamos calcular as diferenças divididas usando os valores dados (peguei
e
da tabela).
Primeiras diferenças divididas:
Segundas diferenças divididas:
Terceira diferença dividida (aqui usamos os abscissas
e
no denominador):
Observe que
. Este valor é uma estimativa numérica para
.
Passo 7
Usando essa aproximação para
na fórmula do resto:
o produto . Assim
o produto
Portanto o resto estimado é
. O sinal positivo indica que o valor verdadeiro
seria aproximadamente
, isto é um pouco maior que
. O erro absoluto estimado (magnitute do resto) é
.
Passo 8
Conclusão prática (o que você leva para a prova):
- O polinômio quadrático baseado em
dá . - A estimativa do erro absoluto usando a diferença dividida de ordem
com pontos é aproximadamente .
Isto significa que a velocidade verdadeira no kmestá estimada em torno de . Força na prova — ficou bem perto do limite de !