Sabe-se que ao longo da linha vermelha a velocidade máxima permitida é de 90 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e foram colocados radares para medir a velocidade instantânea dos carros em alguns pontos. Suponha que em um trecho de 10km o motorista verificou o velocímetro de seu carro e obteve os dados da seguinte tabela:
Km o 2 4 6 8 10
Velocidade \mathrm{Km} / \mathrm{h} 80 85 88 92 85 80
Considere um radar posicionado no quarto quilômetro do trecho. Usando um polinômio interpolador de grau 2, calcule o valor aproximado da velocidade no quinto quilômetro e a estimativa de erro cometido. Use os quilômetros 2, 4 e 6 para construir o polinômio e de o a 8 para estimar o erro.

Passo 1

O enunciado dá uma medição de velocidade em vários quilômetros ao longo de um trecho de 10 \,\mathrm{km}. Os dados relevantes são (peguei estes dados da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccc} \text{Km} & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10\\hline \text{Velocidade (}\mathrm{km}/\mathrm{h}\text{)} & 80 & 85 & 88 & 92 & 85 & 80 \end{array}
O que o exercício pede:
  1. Usar os quilômetros 2,\,4,\,6 para construir um polinômio interpolador de grau 2 e calcular a velocidade aproximada no quilômetro 5.
  2. Estimar o erro cometido nessa aproximação usando os pontos de 0 a 8 (ou seja, usar os dados até 0 e 8 para estimar o termo restante).

Passo 2

Vamos construir o polinômio interpolador de grau 2 usando a forma de Lagrange, porque é direta para obter o valor em um ponto (a prova pode pedir isso sem calculadora). A forma geral do polinômio de Lagrange para nós, com nós x_0=2, x_1=4, x_2=6 e valores f(2)=85, f(4)=88, f(6)=92, é:
P_2(x)=\sum_{j=0}^{2} f(x_j)\, \ell_j(x),
onde cada base de Lagrange é
\ell_j(x)=\prod_{\substack{m=0\m\ne j}}^{2}\frac{x-x_m}{x_j-x_m}.
Vou usar isso para calcular P_2(5).

Passo 3

Calculemos cada \ell_j(5) passo a passo.
Para x_0=2:
\ell_0(5)=\frac{5-4}{2-4}\cdot\frac{5-6}{2-6} =\frac{1}{-2}\cdot\frac{-1}{-4} =\frac{1}{-2}\cdot\frac{-1}{-4}=-\frac{1}{8}.
Contribuição ao polinômio: f(2)\ell_0(5)=85\cdot\bigl(-\tfrac{1}{8}\bigr)=-10{,}625.
Para x_1=4:
\ell_1(5)=\frac{5-2}{4-2}\cdot\frac{5-6}{4-6} =\frac{3}{2}\cdot\frac{-1}{-2}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{4}.
Contribuição: f(4)\ell_1(5)=88\cdot\frac{3}{4}=66{,}0.
Para x_2=6:
\ell_2(5)=\frac{5-2}{6-2}\cdot\frac{5-4}{6-4} =\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{8}.
Contribuição: f(6)\ell_2(5)=92\cdot\frac{3}{8}=34{,}5.

Passo 4

Somando as contribuições temos:
P_2(5) = -10{,}625 + 66{,}0 + 34{,}5 = 89{,}875.
Logo a velocidade aproximada no quilômetro 5 dada pelo polinômio quadrático construído a partir dos pontos 2,4,6 é P_2(5)\approx 89{,}875\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.

Passo 5

Agora a estimativa de erro. A fórmula do resto da interpolação de grau 2 (neste caso n=2) é, para algum \xi no intervalo que contém os nós,
R_2(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2),
onde x_0=2,\;x_1=4,\;x_2=6. Em particular, em x=5,
R_2(5)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{6}\,(5-2)(5-4)(5-6).
Não conhecemos f^{(3)}(\xi), mas podemos estimar \dfrac{f^{(3)}(\xi)}{3!} por uma diferença dividida de ordem 3 calculada a partir de quatro pontos distintos dentro do intervalo. Uma escolha prática (pedida no enunciado) é usar os pontos 0,2,4,8 para calcular a diferença dividida de ordem 3:
f[0,2,4,8]\approx\frac{f^{(3)}(\tilde\xi)}{3!}
para algum \tilde\xi no intervalo, e então usar esse valor numérico como aproximação para \dfrac{f^{(3)}(\xi)}{3!}.

Passo 6

Vamos calcular as diferenças divididas usando os valores dados (peguei f(0)=80 e f(8)=85 da tabela).
Primeiras diferenças divididas:
f[0,2]=\frac{85-80}{2-0}=\frac{5}{2}=2{,}5,
f[2,4]=\frac{88-85}{4-2}=\frac{3}{2}=1{,}5,
f[4,8]=\frac{85-88}{8-4}=\frac{-3}{4}=-0{,}75.
Segundas diferenças divididas:
f[0,2,4]=\frac{f[2,4]-f[0,2]}{4-0}=\frac{1{,}5-2{,}5}{4}=\frac{-1}{4}=-0{,}25,
f[2,4,8]=\frac{f[4,8]-f[2,4]}{8-2}=\frac{-0{,}75-1{,}5}{6}=\frac{-2{,}25}{6}=-0{,}375.
Terceira diferença dividida (aqui usamos os abscissas 0 e 8 no denominador):
f[0,2,4,8]=\frac{f[2,4,8]-f[0,2,4]}{8-0}=\frac{-0{,}375-(-0{,}25)}{8}=\frac{-0{,}125}{8}=-0{,}015625.
Observe que -0{,}015625=-\tfrac{1}{64}. Este valor é uma estimativa numérica para \dfrac{f^{(3)}(\xi)}{3!}.

Passo 7

Usando essa aproximação para \dfrac{f^{(3)}(\xi)}{3!} na fórmula do resto:
o produto (5-2)(5-4)(5-6)=3\cdot1\cdot(-1)=-3. Assim
R_2(5)\approx f[0,2,4,8]\cdot(-3)=(-0{,}015625)\cdot(-3)=0{,}046875.
Portanto o resto estimado é R_2(5)\approx 0{,}046875\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}. O sinal positivo indica que o valor verdadeiro f(5) seria aproximadamente P_2(5)+R_2(5), isto é um pouco maior que P_2(5). O erro absoluto estimado (magnitute do resto) é |R_2(5)|\approx 0{,}046875\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.

Passo 8

Conclusão prática (o que você leva para a prova):
  • O polinômio quadrático baseado em 2,4,6 P_2(5)\approx 89{,}875\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
  • A estimativa do erro absoluto usando a diferença dividida de ordem 3 com pontos 0,2,4,8 é aproximadamente 0{,}046875\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
    Isto significa que a velocidade verdadeira no km 5 está estimada em torno de 89{,}875\pm0{,}046875\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}. Força na prova — ficou bem perto do limite de 90\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}!

Resposta

v(5)\approx 89{,}875\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
|\text{Erro estimado}|\approx 0{,}046875\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}

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