Quais dos vetores u1=(4,2,6,-8), u2=(-2,3,-1,-1), u3=(-2,-1,-3,4), u4= (1,0,0,2), u5=(1,2,3,-4) e u6=(0,3,1,0) são:
(a) ortogonais?
(b) paralelos?
(c) tem mesma direção e sentido?

Passo 1

O enunciado dá seis vetores em R^4:
u1=(4,2,6,-8),
u2=(-2,3,-1,-1),
u3=(-2,-1,-3,4),
u4=(1,0,0,2),
u5=(1,2,3,-4) e
u6=(0,3,1,0).
Queremos a) os pares ortogonais (produto interno zero), b) os pares paralelos (um múltiplo escalar do outro) e c) quais desses paralelos têm a mesma direção e sentido (múltiplo escalar positivo).

Passo 2

Para achar os pares ortogonais, calculamos uicdotuj e vemos quando dá zero. Os casos que dão zero são:
u1cdotu2 = 4(-2)+2cdot3+6(-1)+(-8)(-1) = -8+6-6+8 = 0,
u2cdotu3 = (-2)(-2)+3(-1)+(-1)(-3)+(-1)cdot4 = 4-3+3-4 = 0,
u4cdotu6 = 1cdot0+0cdot3+0cdot1+2cdot0 = 0.
Todos os outros produtos internos são diferentes de zero, logo esses são os únicos pares ortogonais.

Passo 3

Para verificar paralelismo, buscamos k tal que ui = k,uj. Observamos que
4-2 = 2-1 = 6-3 = -84 = -2,
ou seja u1 = -2,u3. Nos demais pares não existe escalar constante que faça todas as coordenadas proporcionais, então o único par paralelo é u1,u3.

Passo 4

Para terem mesma direção e sentido, o escalar de paralelismo deve ser positivo. Aqui o escalar é -2<0, logo u1 e u3 têm sentido oposto, não o mesmo sentido. Não há outros pares paralelos, então não há nenhum par com mesma direção e sentido.

Resposta

(a) Os pares ortogonais são (u1,u2), (u2,u3) e (u4,u6).
(b) O único par paralelo é (u1,u3).
(c) Não há nenhum par com mesma direção e sentido.

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