Using the Cauchy theorem, Cauchy integral formula, or their consequences, evaluate the following integrals, all taken around the circle
:
,
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral de contorno
Informações dadas e observações iniciais úteis:
- O caminho de integração é o círculo
, isto é, a curva fechada centrada em e de raio . - O integrando é
. - Há uma singularidade aparente em
(porque o denominador some aí). Note que está dentro do círculo (já que ). - Não há outras singularidades (a função
é inteira, ou seja, analítica em todo o plano). - A tarefa é usar o teorema / fórmula de Cauchy para avaliar essa integral.
Passo 2
Explicação da ferramenta que vamos usar (fórmula integral de Cauchy para derivadas), com ensino passo a passo.
Fórmula geral que precisamos:
onde:
-
é uma curva fechada simples e orientada positivamente (no sentido anti-horário), -
é uma função analítica em uma vizinhança que contém e seu interior, -
é um ponto no interior de , -
é um inteiro não negativo, -
é a -ésima derivada de avaliada em , -
(por convenção ).
Interpretação prática: quando você tem uma integral com
no denominador e
é analítica, a integral dá (multiplicando por
) a derivada de ordem
de
em
dividida por
. No caso
recupera a fórmula clássica de Cauchy para
.
Passo 3
Verificação das hipóteses da fórmula no nosso problema.
- Tomamos
. Sabemos (ou aceitamos) que é uma função inteira: ela é analítica em todo o plano complexo. Logo é analítica numa vizinhança do círculo e do seu interior. - O ponto
é , pois a singularidade do denominador é em , e está dentro do círculo (veja Passo 1). - O denominador é
, que corresponde a , portanto . Assim a fórmula nos dará a primeira derivada de em . - Todas as hipóteses da fórmula estão satisfeitas, então podemos aplicá-la sem problemas.
Passo 4
Aplicação direta da fórmula de Cauchy para derivadas.
Usando a fórmula com
,
e
, temos
Multiplicando ambos os lados por
,
Agora calculamos
. Como
, a derivada é
(a função exponencial é igual à sua própria derivada). Logo
Portanto
Passo 5
Comentário didático curto e exemplo adicional rápido para fixar a ideia.
- A intuição: o pólo de ordem 2 faz com que a integral “capture” a primeira derivada de
no ponto singular multiplicada por . Para pólos de ordem 1 (quando o denominador é ) a integral captura simplesmente . - Exemplo rápido: se tivéssemos
isto corresponde a com , logo essa integral seria . Isso mostra que a presença de não garante um valor não nulo — depende de .