Using the Cauchy theorem, Cauchy integral formula, or their consequences, evaluate the following integrals, all taken around the circle |z|=2 :
\oint \frac{e^{x}}{(z-1)^{2}} d z,

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral de contorno
\oint_{|z|=2} \frac{e^{z}}{(z-1)^{2}}\,dz.
Informações dadas e observações iniciais úteis:
  • O caminho de integração é o círculo |z|=2, isto é, a curva fechada centrada em 0 e de raio 2.
  • O integrando é \dfrac{e^{z}}{(z-1)^{2}}.
  • Há uma singularidade aparente em z=1 (porque o denominador some aí). Note que z=1 está dentro do círculo |z|=2 (já que |1|=1<2).
  • Não há outras singularidades (a função e^{z} é inteira, ou seja, analítica em todo o plano).
  • A tarefa é usar o teorema / fórmula de Cauchy para avaliar essa integral.

Passo 2

Explicação da ferramenta que vamos usar (fórmula integral de Cauchy para derivadas), com ensino passo a passo.
Fórmula geral que precisamos:
\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz=\frac{f^{(n)}(a)}{n!},
onde:
  • \gamma é uma curva fechada simples e orientada positivamente (no sentido anti-horário),
  • f é uma função analítica em uma vizinhança que contém \gamma e seu interior,
  • a é um ponto no interior de \gamma,
  • n é um inteiro não negativo,
  • f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em a,
  • n!=1\cdot2\cdots n (por convenção 0!=1).
Interpretação prática: quando você tem uma integral com (z-a)^{n+1} no denominador e f é analítica, a integral dá (multiplicando por 2\pi i) a derivada de ordem n de f em a dividida por n!. No caso n=0 recupera a fórmula clássica de Cauchy para f(a).

Passo 3

Verificação das hipóteses da fórmula no nosso problema.
  • Tomamos f(z)=e^{z}. Sabemos (ou aceitamos) que e^{z} é uma função inteira: ela é analítica em todo o plano complexo. Logo é analítica numa vizinhança do círculo |z|=2 e do seu interior.
  • O ponto a é 1, pois a singularidade do denominador é em z=1, e 1 está dentro do círculo (veja Passo 1).
  • O denominador é (z-1)^{2}, que corresponde a n+1=2, portanto n=1. Assim a fórmula nos dará a primeira derivada de f em a.
  • Todas as hipóteses da fórmula estão satisfeitas, então podemos aplicá-la sem problemas.

Passo 4

Aplicação direta da fórmula de Cauchy para derivadas.
Usando a fórmula com f(z)=e^{z}, a=1 e n=1, temos
\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=2}\frac{e^{z}}{(z-1)^{2}}\,dz=\frac{f^{(1)}(1)}{1!}=f'(1).
Multiplicando ambos os lados por 2\pi i,
\oint_{|z|=2}\frac{e^{z}}{(z-1)^{2}}\,dz=2\pi i\,f'(1).
Agora calculamos f'(z). Como f(z)=e^{z}, a derivada é f'(z)=e^{z} (a função exponencial é igual à sua própria derivada). Logo
f'(1)=e^{1}=e.
Portanto
\oint_{|z|=2}\frac{e^{z}}{(z-1)^{2}}\,dz=2\pi i\,e.

Passo 5

Comentário didático curto e exemplo adicional rápido para fixar a ideia.
  • A intuição: o pólo de ordem 2 faz com que a integral “capture” a primeira derivada de f no ponto singular multiplicada por 2\pi i. Para pólos de ordem 1 (quando o denominador é (z-a)) a integral captura simplesmente 2\pi i f(a).
  • Exemplo rápido: se tivéssemos \oint_{|z|=2}\dfrac{1}{(z-1)^{2}}\,dz isto corresponde a f(z)=1 com f'(1)=0, logo essa integral seria 0. Isso mostra que a presença de (z-1)^{2} não garante um valor não nulo — depende de f.

Resposta

\displaystyle 2\pi i e

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