1. Sem o uso de calculadora, encontre o valor dos logaritmos abaixo.
(d) \log _{\frac{1}{4}} 2

Passo 1

O enunciado pede calcular o valor de \log_{\frac{1}{4}} 2.
Informações dadas:
  • a base do logaritmo é \dfrac{1}{4};
  • o argumento é 2.
    O que se quer: encontrar o número real x tal que \log_{\frac{1}{4}}2 = x.

Passo 2

Lembrete do que significa logaritmo: por definição, se x=\log_{a} b então
a^{x}=b,
com a>0, a\neq1 e b>0.
Aplicando isso aqui, seja
x=\log_{\frac{1}{4}}2.
Pela definição temos
\left(\frac{1}{4}\right)^{x}=2.

Passo 3

Vamos escrever a base \dfrac{1}{4} como potência de 2. Usando 4=2^{2} e a regra a^{-1}=\dfrac{1}{a} e (a^{m})^{n}=a^{mn}, obtemos
\frac{1}{4} = 4^{-1} = (2^{2})^{-1}=2^{-2}.

Passo 4

Substituindo na equação \left(\dfrac{1}{4}\right)^{x}=2 obtemos
(2^{-2})^{x}=2.
Pela regra de potências (2^{-2})^{x}=2^{-2x}. Como o lado direito é 2, que é 2^{1}, temos
2^{-2x}=2^{1}.

Passo 5

Quando potências de mesma base são iguais e a base é diferente de 0 e 1, os expoentes são iguais. Portanto
-2x=1.
Resolvendo essa equação para x:
x=-\frac{1}{2}.

Passo 6

Cheque rápido (verificação): calcular \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1/2}. Usando potências,
\left(\frac{1}{4}\right)^{-1/2} = (4)^{1/2} = \sqrt{4} = 2,
o que confirma que \log_{\frac{1}{4}}2=-\dfrac{1}{2}.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

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