O uso de redes sociais, como TikTok e Instagram, tem crescido de forma significativa em diversos países. Em uma pesquisa recente com usuários dessas plataformas, foi relatado que brasileiros e indianos estão entre os que mais passam tempo conectados diariamente. Usuários franceses de redes sociais, por exemplo, costumam dedicar mais de 3 horas por dia à atividade, seja por computador, tablet ou celular.
Uma amostra aleatória de 24 usuários franceses foi coletada, e cada participante informou o tempo médio diário (em horas) que passa em redes sociais. Os dados estão apresentados na tabela abaixo:
3,4 3,5 3,0 3,4 3,3 3,5 3,3 3,0 3,5 3,0 2,7 3,1
3,8 3,1 3,3 3,1 3,1 2,9 2,5 3,1 3,0 3,6 3,2 3,2
a) Calcule um intervalo de confiança de 99 \% para a média verdadeira do tempo diário que usuários franceses passam em redes sociais. Considere que a população segue uma distribuição normal.
b) Com base no intervalo de confiança obtido no item (a), há evidências que indiquem que a média real de tempo gasto diariamente em redes sociais seja diferente de 3,2 horas? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular um intervalo de confiança de 99\% para a média verdadeira do tempo diário (em horas) que usuários franceses passam em redes sociais, assumindo que a população é normal.
  2. Dizer se, com base nesse intervalo, há evidências de que a média real seja diferente de 3,2 horas, justificando a resposta.
Informações fornecidas (peguei os dados da tabela do enunciado):
\begin{matrix} 3,4 & 3,5 & 3,0 & 3,4 & 3,3 & 3,5 & 3,3 & 3,0 & 3,5 & 3,0 & 2,7 & 3,1 \\\\ 3,8 & 3,1 & 3,3 & 3,1 & 3,1 & 2,9 & 2,5 & 3,1 & 3,0 & 3,6 & 3,2 & 3,2 \end{matrix}
Número de observações: n=24.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{x}.
Soma dos valores (peguei somando cada observação da tabela):
\sum_{i=1}^{24} x_i = 76,6.
Logo a média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i=\frac{76,6}{24}=3,191666\ldots \approx 3,1917.
Explicação rápida: a média amostral é o centro aritmético dos dados; somamos todos os tempos e dividimos por n.

Passo 3

Calcular a variância amostral e o desvio padrão amostral.
Primeiro calculei a soma dos quadrados (peguei cada x_i^2 e somei):
\sum_{i=1}^{24} x_i^2 = 246,42.
A fórmula para a variância amostral (estimador não viciado) é
s^2=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2\right).
Aqui:
n\bar{x}^2 = 24\cdot(3,191666\ldots)^2.
Fazendo as contas (mostrando os passos numéricos):
n\bar{x}^2 = 24\cdot\left(\frac{383}{120}\right)^2 = \frac{146689}{600}\approx 244,481666\ldots
\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2 = 246,42 - 244,481666\ldots = 1,938333\ldots
s^2=\frac{1,938333\ldots}{23}\approx 0,08428.
Explicação didática: essa fórmula remove a parte explicada pela média e escala pelo fator 1/(n-1) para corrigir o viés da estimativa da variância populacional.

Passo 4

Calcular o desvio padrão amostral s:
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{0,08428\ldots}\approx 0,2903.
Interpretação: em média, os tempos individuais desviam da média por cerca de 0,290 horas (≈17,4 minutos).

Passo 5

Construir o intervalo de confiança de 99\%.
Por que usar a distribuição t? Porque a população é normal, mas a variância populacional é desconhecida — então usamos a distribuição t com n-1 graus de liberdade. A fórmula do intervalo é
\bar{x}\pm t_{n-1,\alpha/2}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde \alpha=1-0,99=0,01 e t_{n-1,\alpha/2} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade para probabilidade \alpha/2 de cauda superior.
Aqui n-1=23 e \alpha/2=0,005. O valor crítico (tabela de t) é aproximadamente
t_{23,\,0,005}\approx 2,807.

Passo 6

Calcular a margem de erro e o intervalo numérico.
Primeiro o erro padrão da média:
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,2903}{\sqrt{24}}\approx \frac{0,2903}{4,89898}\approx 0,05929.
Multiplicando pelo t crítico:
\text{margem}=t_{23,0,005}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2,807\cdot 0,05929\approx 0,1663.
Portanto o intervalo de confiança de 99\% é
\bar{x}\pm \text{margem} \Rightarrow 3,1917\pm 0,1663,
ou seja
(3,0254,\;3,3580).
Arredondando para três casas decimais fica aproximadamente (3,025,\;3,358).

Passo 7

Responder a pergunta (b): há evidência de que a média real seja diferente de 3,2 horas?
Método rápido e confiável: se o valor hipotético 3,2 estiver dentro do intervalo de confiança de 99\%, então não rejeitamos a hipótese de que a média seja 3,2 ao nível de significância \alpha=0,01. Verificando:
3,2 \in (3,0254,\;3,3580).
Portanto 3,2 está dentro do intervalo.
Alternativa com estatística de teste (mostro rapidamente): o valor do t-observado para testar H_0:\mu=3,2 é
t=\frac{\bar{x}-3,2}{s/\sqrt{n}}=\frac{3,1917-3,2}{0,05929}\approx -0,141,
em módulo muito menor que 2,807, logo não rejeitamos H_0.
Conclusão: ao nível de confiança de 99\% (ou nível de significância 1\%), não há evidências para afirmar que a média verdadeira difere de 3,2 horas.

Resposta

(a) \text{IC}_{99\%}\approx(3,025;\;3,358)\n
(b) Não. Não há evidências de que a média seja diferente de 3,2 horas, pois 3,2 pertence ao intervalo de confiança de 99\%.

Exercícios relacionados