O uso de redes sociais, como TikTok e Instagram, tem crescido de forma significativa em diversos países. Em uma pesquisa recente com usuários dessas plataformas, foi relatado que brasileiros e indianos estão entre os que mais passam tempo conectados diariamente. Usuários franceses de redes sociais, por exemplo, costumam dedicar mais de 3 horas por dia à atividade, seja por computador, tablet ou celular.
Uma amostra aleatória de 24 usuários franceses foi coletada, e cada participante informou o tempo médio diário (em horas) que passa em redes sociais. Os dados estão apresentados na tabela abaixo:
3,4
3,5
3,0
3,4
3,3
3,5
3,3
3,0
3,5
3,0
2,7
3,1
3,8
3,1
3,3
3,1
3,1
2,9
2,5
3,1
3,0
3,6
3,2
3,2
a) Calcule um intervalo de confiança de
para a média verdadeira do tempo diário que usuários franceses passam em redes sociais. Considere que a população segue uma distribuição normal.
b) Com base no intervalo de confiança obtido no item (a), há evidências que indiquem que a média real de tempo gasto diariamente em redes sociais seja diferente de 3,2 horas? Justifique sua resposta.
| 3,4 | 3,5 | 3,0 | 3,4 | 3,3 | 3,5 | 3,3 | 3,0 | 3,5 | 3,0 | 2,7 | 3,1 |
| 3,8 | 3,1 | 3,3 | 3,1 | 3,1 | 2,9 | 2,5 | 3,1 | 3,0 | 3,6 | 3,2 | 3,2 |
b) Com base no intervalo de confiança obtido no item (a), há evidências que indiquem que a média real de tempo gasto diariamente em redes sociais seja diferente de 3,2 horas? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular um intervalo de confiança de
para a média verdadeira do tempo diário (em horas) que usuários franceses passam em redes sociais, assumindo que a população é normal. - Dizer se, com base nesse intervalo, há evidências de que a média real seja diferente de
horas, justificando a resposta.
Informações fornecidas (peguei os dados da tabela do enunciado):
Número de observações:
.
Passo 2
Calcular a média amostral
.
Soma dos valores (peguei somando cada observação da tabela):
Logo a média amostral é
Explicação rápida: a média amostral é o centro aritmético dos dados; somamos todos os tempos e dividimos por
.
Passo 3
Calcular a variância amostral e o desvio padrão amostral.
Primeiro calculei a soma dos quadrados (peguei cada
e somei):
A fórmula para a variância amostral (estimador não viciado) é
Aqui:
Fazendo as contas (mostrando os passos numéricos):
Explicação didática: essa fórmula remove a parte explicada pela média e escala pelo fator
para corrigir o viés da estimativa da variância populacional.
Passo 4
Calcular o desvio padrão amostral
:
Interpretação: em média, os tempos individuais desviam da média por cerca de
horas (≈17,4 minutos).
Passo 5
Construir o intervalo de confiança de
.
Por que usar a distribuição
? Porque a população é normal, mas a variância populacional é desconhecida — então usamos a distribuição
com
graus de liberdade. A fórmula do intervalo é
onde
e
é o quantil da distribuição
com
graus de liberdade para probabilidade
de cauda superior.
Aqui
e
. O valor crítico (tabela de
) é aproximadamente
Passo 6
Calcular a margem de erro e o intervalo numérico.
Primeiro o erro padrão da média:
Multiplicando pelo
crítico:
Portanto o intervalo de confiança de
é
ou seja
Arredondando para três casas decimais fica aproximadamente
.
Passo 7
Responder a pergunta (b): há evidência de que a média real seja diferente de
horas?
Método rápido e confiável: se o valor hipotético
estiver dentro do intervalo de confiança de
, então não rejeitamos a hipótese de que a média seja
ao nível de significância
. Verificando:
Portanto
está dentro do intervalo.
Alternativa com estatística de teste (mostro rapidamente): o valor do
-observado para testar
é
em módulo muito menor que
, logo não rejeitamos
.
Conclusão: ao nível de confiança de
(ou nível de significância
), não há evidências para afirmar que a média verdadeira difere de
horas.
Resposta
(a)
\n
(b) Não. Não há evidências de que a média seja diferente de horas, pois
pertence ao intervalo de confiança de
.
(b) Não. Não há evidências de que a média seja diferente de