Utilizando aproximações lineares, encontre uma aproximação para cada número a seguir:
ln (0,997)

Passo 1

O enunciado pede para aproximar ln(0,997) usando aproximações lineares, tema de séries de Taylor de ordem 1 (reta tangente). Vamos precisar da derivada de f(x)=ln(x) e aplicar a fórmula de aproximação em torno de um ponto onde sabemos o valor exato, que aqui é x0=1.

Passo 2

Para usar aproximação linear, lembramos que se f é derivável em x0, então
f(x)approx f(x0)+f'(x0),(x-x0)

Passo 3

Escolhemos x0=1 porque ln(1)=0 é fácil. Calculamos
f(x)=ln(x), f(1)=0, f'(x)=1x, f'(1)=1

Passo 4

Montamos a aproximação linear (reta tangente) em x0=1:
L(x)=f(1)+f'(1),(x-1)=0+1cdot(x-1)=x-1

Passo 5

Finalmente, substituímos x=0,997:
ln(0,997)approx L(0,997)=0,997-1=-0,003

Resposta

-0,003

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