Utilizando os códigos dos métodos da Bissecção, Newton-Raphson e Secantes, encontre uma aproximação para a menor raiz positiva da equação f(x)=x^3-3 x+3 com erro inferior a 10^-3 (precisão). Após rodar cada método, deverão ser registradas as aproximações encontradas para a raiz em cada iteração, o número de iterações e o erro cometido em cada iteração:

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a única raiz real da equação
f(x)=x^3 - 3x + 3 = 0
com precisão de xn+1 = xn - f(xn),xn - xn-1f(xn)-f(xn-1) , usando três métodos numéricos:
  • Bissecção
  • Newton–Raphson
  • Secantes
O que vamos precisar:
  1. Entender que a raiz real está num intervalo onde muda de sinal.
  2. Saber a fórmula de cada método e como computar erros
    • Bissecção: dividir o intervalo pela metade até o erro ser .
    • Newton–Raphson: , com .
    • Secantes:
  3. Registrar em cada iteração a aproximação e o erro .
A partir de agora, vamos aplicar cada método passo a passo.

Passo 2

Método da Bissecção sobre o intervalo inicial f(-3)=-15<0, f(-2)=1>0, pois
c = a+b2, erro = b-a2
A cada iteração definimos
Quando , paramos.
Iterações:
  1. , erro
  2. , erro
  3. , erro
  4. , erro
  5. , erro
  6. , erro
  7. , erro
  8. , erro
  9. , erro
  10. , erro
Parou em 10 iterações, raiz aproximada .

Passo 3

Método de Newton–Raphson.
Fórmula
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn), f'(x)=3x^2-3
Começamos em .
  1. , ,
    , erro
  2. , ,
    , erro
  3. , ,
    , erro
  4. , ,
    , erro
  5. , erro , mas na próxima iteração já cai abaixo:
    , erro .
Newton–Raphson leva 5 iterações para atingir a precisão desejada.

Passo 4

Método das Secantes.
xn+1 = xn - f(xn),xn - xn-1f(xn)-f(xn-1)
Tomamos .
  1. , erro

  2. , erro

  3. , erro

  4. , erro .
Secantes precisou de 5 iterações.

Resposta

A aproximação da raiz real de x approx -2.1040 com erro ficou em torno de
Iterações necessárias:
  • Bissecção: 10
  • Newton–Raphson: 5
  • Secantes: 5

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