Utilizando os códigos dos métodos da Bissecção, Newton-Raphson e Secantes, encontre uma aproximação para a menor raiz positiva da equação com erro inferior a (precisão). Após rodar cada método, deverão ser registradas as aproximações encontradas para a raiz em cada iteração, o número de iterações e o erro cometido em cada iteração:
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a única raiz real da equação
com precisão de , usando três métodos numéricos:
Bissecção
Newton–Raphson
Secantes
O que vamos precisar:
Entender que a raiz real está num intervalo onde muda de sinal.
Saber a fórmula de cada método e como computar erros
Bissecção: dividir o intervalo pela metade até o erro ser .
Newton–Raphson: , com .
Secantes:
Registrar em cada iteração a aproximação e o erro .
A partir de agora, vamos aplicar cada método passo a passo.
Passo 2
Método da Bissecção sobre o intervalo inicial f(-3)=-15<0, f(-2)=1>0, pois
c = a+b2, erro = b-a2
A cada iteração definimos
Quando , paramos.
Iterações:
⇒ , erro
⇒ , erro
⇒ , erro
⇒ , erro
⇒ , erro
⇒ , erro
⇒ , erro
⇒ , erro
⇒ , erro
⇒ , erro
Parou em 10 iterações, raiz aproximada .
Passo 3
Método de Newton–Raphson.
Fórmula
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn), f'(x)=3x^2-3
Começamos em .
, , ⇒ , erro
, , ⇒ , erro
, , ⇒ , erro
, , ⇒ , erro
, erro , mas na próxima iteração já cai abaixo: , erro .
Newton–Raphson leva 5 iterações para atingir a precisão desejada.
Passo 4
Método das Secantes.
xn+1 = xn - f(xn),xn - xn-1f(xn)-f(xn-1)
Tomamos .
, erro
⇒ , erro
⇒ , erro
⇒ , erro .
Secantes precisou de 5 iterações.
Resposta
A aproximação da raiz real de x approx -2.1040 com erro ficou em torno de