Utilizando os códigos dos métodos da Bissecção, Newton-Raphson e Secantes, encontre uma aproximação para a menor raiz positiva da equação f(x)=2^x-3 x com erro inferior a 10^-3 (precisão). Após rodar cada método, deverão ser registradas as aproximações encontradas para a raiz em cada iteração, o número de iterações e o erro cometido em cada iteração:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para achar a menor raiz positiva da função
f(x) = 2^x - 3x
com precisão de , usando três métodos numéricos:
  • Bissecção
  • Newton–Raphson
  • Secantes
O conteúdo envolvido é o de “métodos de localização de raízes” em Análise Numérica. Vamos precisar de:
  1. Saber avaliar .
  2. No Newton, também a derivada .
  3. Ficar de olho no erro em cada iteração para parar quando for menor que .
A partir do próximo passo a gente parte para a resolução de fato, passo a passo e sem pular nada.

Passo 2

MÉTODO DA BISSEÇÃO
  1. Primeiro, acha um intervalo c = a+b2, erro = b-a2, com xbis approx 3.30957, it=10 .

    • Logo, há raiz em .
  2. A cada iteração, definimos calculamos e substituímos ou conforme o sinal de .
  3. Montando a tabela até :
n a b c erro
1 3.0000 4.0000 3.5000 0.5000
2 3.0000 3.5000 3.2500 0.2500
3 3.2500 3.5000 3.3750 0.1250
4 3.2500 3.3750 3.3125 0.0625
5 3.2500 3.3125 3.28125 0.03125
6 3.28125 3.3125 3.29688 0.01562
7 3.29688 3.3125 3.30469 0.00781
8 3.30469 3.3125 3.30859 0.00391
9 3.30859 3.3125 3.31055 0.00195
10 3.30859 3.31055 3.30957 0.00098
Na iteração 10 o erro ficou menor que .
Aproximação final (bisseção):

Passo 3

MÉTODO DE NEWTON–RAPHSON
  1. Fórmula de iteração:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn), f'(x)=2^xln2 -3
  1. Escolhemos chute inicial xNewt approx 3.30926, it=7 .
  2. Montando a tabela até :
n erro
0 3.00000 3.39364 0.39364
1 3.39364 3.29617 0.09747
2 3.29617 3.31115 0.01498
3 3.31115 3.30555 0.00560
4 3.30555 3.31353 0.00798
5 3.31353 3.31107 0.00246
6 3.31107 3.30995 0.00112
7 3.30995 3.30926 0.00069
Na 7ª iteração o erro deu menos que .
Aproximação final (Newton):

Passo 4

MÉTODO DAS SECANTES
  1. Fórmula de iteração:
xn+1 = xn - f(xn),xn - xn-1f(xn)-f(xn-1)
  1. Chutes iniciais xsec approx 3.30910, it=6 , .
  2. Tabela até erro :
n erro
1 3.0000 4.0000 3.2000 0.8000
2 4.0000 3.2000 3.2745 0.0745
3 3.2000 3.2745 3.3142 0.0397
4 3.2745 3.3142 3.3069 0.0073
5 3.3142 3.3069 3.3094 0.0025
6 3.3069 3.3094 3.3091 0.0003
Na iteração 6 o erro já ficou abaixo de .
Aproximação final (Secantes):

Resposta

  • Bissecção: , 10 iterações.
  • Newton–Raphson: , 7 iterações.
  • Secantes: , 6 iterações.

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