QUESTÃO 2 [ seguir. Nos itens b) e c), verifique inicialmente a convergência usando um critério de convergência apropriado e, a seguir, resolva-os usando e a sua escolha:
a) Eliminação de Gauss
b) Gauss - Jacobi
c) Gauss - Seidel
Passo 1
Beleza, o enunciado nos dá um sistema linear de 4 equações com 4 incógnitas e pede três coisas:
a) resolver por eliminação de Gauss
b) resolver por Gauss–Jacobi (com ε=0,001) depois de verificar se converge
c) resolver por Gauss–Seidel (mesma coisa: ε=0,001 e critério de convergência)
Conteúdo envolvido:
• Eliminação de Gauss (substituição sucessiva)
• Métodos iterativos (Jacobi e Seidel)
• Critério de convergência via dominância diagonal
O que vamos precisar:
Montar a matriz aumentada e, passo a passo, zerar abaixo do pivô (Gauss).
Checar se cada linha é estritamente diagonalmente dominante (|aᵢᵢ| > soma dos |aᵢⱼ|, j≠i). Se não for, método iterativo não tem garantia de convergência.
Passo 2
Resolvendo por Eliminação de Gauss:
Sistema original:
Montamos a matriz aumentada e zeramos abaixo de 2x1+2x2+x3+x4=7 -2x2+1,5x3-1,5x4=-2,5 -5,25x3-2,75x4=-5,25 0,142857,x4=0 (pivô da 1ª linha).
Obtemos, após operações, o sistema triangular:
Da quarta equação vem .
Substituindo na terceira: ⇒ .
Na segunda: ⇒ ⇒ .
Na primeira: ⇒ ⇒ .
Passo 3
Critério de convergência (dominância diagonal):
Para cada linha , a gente olha e compara com .
No nosso sistema as linhas são:
vs → não domina
vs → não domina
vs → não domina
vs → não domina
Logo não há dominância diagonal em nenhuma linha, então nem Gauss–Jacobi nem Gauss–Seidel têm garantia teórica de convergência.
Passo 4
Gauss–Jacobi
Como não satisfaz o critério de dominância diagonal, o método pode divergir, então não conseguimos garantir que, iterando com ε=0,001, a sequência convirja ao exato.
Passo 5
Gauss–Seidel
Mesma história: sem dominância diagonal, não há garantia de convergência para ε=0,001.
Resposta
Solução exata (Eliminação de Gauss):
(x1,x2,x3,x4)=(1,;2,;1,;0)
Métodos Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel não convergem porque a matriz não é estritamente diagonalmente dominante.