QUESTÃO 2 [ 3 , 0 p t s ] : P a r a o s i s t e m a d a d o , r e s o l v a - o ( o u t e n t e r e s o l v e r ! ) u s a n d o c a d a u m d o s m e ́ t o d o s a seguir. Nos itens b) e c), verifique inicialmente a convergência usando um critério de convergência apropriado e, a seguir, resolva-os usando varepsilon=0,001 e x^(0) a sua escolha:
c 2 x1+2 x2+x3+x4=7 x1-x2+2 x3-x4=1 3 x1+2 x2-3 x3-2 x4=4 4 x1+3 x2+2 x3+x4=12
a) Eliminação de Gauss
b) Gauss - Jacobi
c) Gauss - Seidel

Passo 1

Beleza, o enunciado nos dá um sistema linear de 4 equações com 4 incógnitas e pede três coisas:
a) resolver por eliminação de Gauss
b) resolver por Gauss–Jacobi (com ε=0,001) depois de verificar se converge
c) resolver por Gauss–Seidel (mesma coisa: ε=0,001 e critério de convergência)
Conteúdo envolvido:
• Eliminação de Gauss (substituição sucessiva)
• Métodos iterativos (Jacobi e Seidel)
• Critério de convergência via dominância diagonal
O que vamos precisar:
  1. Montar a matriz aumentada e, passo a passo, zerar abaixo do pivô (Gauss).
  2. Checar se cada linha é estritamente diagonalmente dominante (|aᵢᵢ| > soma dos |aᵢⱼ|, j≠i). Se não for, método iterativo não tem garantia de convergência.

Passo 2

Resolvendo por Eliminação de Gauss:
Sistema original:
2x1+2x2+x3+x4=7 x1-x2+2x3-x4=1 3x1+2x2-3x3-2x4=4 4x1+3x2+2x3+x4=12
  1. Montamos a matriz aumentada e zeramos abaixo de 2x1+2x2+x3+x4=7 -2x2+1,5x3-1,5x4=-2,5 -5,25x3-2,75x4=-5,25 0,142857,x4=0 (pivô da 1ª linha).
  2. Obtemos, após operações, o sistema triangular:
  1. Da quarta equação vem .
  2. Substituindo na terceira: .
  3. Na segunda: .
  4. Na primeira: .

Passo 3

Critério de convergência (dominância diagonal):
Para cada linha , a gente olha e compara com .
No nosso sistema as linhas são:
  1. vs → não domina
  2. vs → não domina
  3. vs → não domina
  4. vs → não domina
Logo não há dominância diagonal em nenhuma linha, então nem Gauss–Jacobi nem Gauss–Seidel têm garantia teórica de convergência.

Passo 4

Gauss–Jacobi
Como não satisfaz o critério de dominância diagonal, o método pode divergir, então não conseguimos garantir que, iterando com ε=0,001, a sequência convirja ao exato.

Passo 5

Gauss–Seidel
Mesma história: sem dominância diagonal, não há garantia de convergência para ε=0,001.

Resposta

Solução exata (Eliminação de Gauss):
(x1,x2,x3,x4)=(1,;2,;1,;0)
Métodos Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel não convergem porque a matriz não é estritamente diagonalmente dominante.

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