Utilizando coordenadas esféricas, determine a parametrização da parte da esfera
acima do cone
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é parametrizar uma parte da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 49 $ que está acima do cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ usando coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para esféricas e identificar os limites que definem a parte da esfera que queremos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por
, onde:
- $ r $ é a distância do ponto até a origem.
- $ \theta $ é o ângulo no plano $ xy $ a partir do eixo $ x $ (assim como em coordenadas polares).
- $ \phi $ é o ângulo entre o vetor posição e o eixo $ z $.
As conversões para coordenadas cartesianas são:
Passo 3
Agora, vamos focar na esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 49 $. Sabemos que $ r $ é a distância até a origem, então nessa esfera, $ r = \sqrt{49} = 7 $. Ou seja, estamos trabalhando com $ r = 7 $.
Em seguida, queremos a parte da esfera que está acima do cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Vamos traduzir essa condição para coordenadas esféricas:
Substituindo as coordenadas esféricas:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 7:
Isso nos dá:
Então, o ângulo $ \phi $ vai de 0 até $ \frac{\pi}{4} $.
Passo 4
Agora que sabemos os limites para $ \phi $ e $ r $, podemos escrever a parametrização completa. Já fixamos $ r = 7 $, e $ \theta $ pode variar de 0 a $ 2\pi $ para cobrir toda a volta no plano $ xy $.
Resposta
A parametrização da parte da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 49 $ acima do cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ em coordenadas esféricas é dada por:
onde $ 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{4} $ e $ 0 \leq \theta < 2\pi $.