Utilizando a definição formal de derivadas (por limite), calcule a derivada das seguintes funções:
;
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos\n
- O enunciado pede: calcular a derivada da função
usando a definição formal por limite.\n - Informação dada: a função é
. A variável independente é . Vamos chamar a função de , isto é, .\n
(Pronto — agora sabemos exatamente o que queremos: a taxa de variação ou a derivada.)
Passo 2
Definição formal da derivada e significado das letras\n
- A definição formal (derivada por limite) é:
- Aqui:
-
é a derivada de em , isto é, a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto . -
é um incremento (uma pequena variação) aplicado a ; tomar significa olhar a razão de variação quando o incremento fica cada vez menor. - A expressão
é chamada de quociente diferencial ou quociente incremental; é a razão entre a variação em e a variação em .
-
Passo 3
Calcular
substituindo
na função\n
- Começo por avaliar
usando :
- Expandindo
:
- Portanto:
Passo 4
Formar o quociente
e simplificar\n
- Primeiro calcule
:
- Cancelam-se
e , sobrando:
- Coloca-se em evidência
:
- Agora divide-se por
para obter o quociente:
Passo 5
Tomar o limite quando
\n
- Aplicando a definição da derivada:
- Como
não depende de e , temos
Passo 6
Interpretação e dica prática para a prova\n
- A conta acima mostrou, pelo limite, que o termo constante
desaparece (derivada de constante é zero) e que a derivada de aparece multiplicada pelo fator . Isso explica por que, de forma geral, multiplicar a função por uma constante multiplica também a derivada por essa constante.\n - Dica de memorização prática (útil na prova): a regra do poder
pode ser deduzida usando exatamente o mesmo processo; aqui, para e multiplicando por , obtém-se o resultado que vimos.\n - Exemplo numérico rápido para ganhar confiança: a inclinação da tangente em
é . Isso significa que, naquele ponto, a função cresce com taxa unidades de por unidade de .