Utilizando a definição formal de derivadas (por limite), calcule a derivada das seguintes funções:
y=3 x^{2}+4;

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos\n
  • O enunciado pede: calcular a derivada da função y=3x^{2}+4 usando a definição formal por limite.\n
  • Informação dada: a função é y=3x^{2}+4. A variável independente é x. Vamos chamar a função de f, isto é, f(x)=3x^{2}+4.\n
    (Pronto — agora sabemos exatamente o que queremos: a taxa de variação ou a derivada f'(x).)

Passo 2

Definição formal da derivada e significado das letras\n
  • A definição formal (derivada por limite) é:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
  • Aqui:
    • f'(x) é a derivada de f em x, isto é, a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto x.
    • h é um incremento (uma pequena variação) aplicado a x; tomar h\to0 significa olhar a razão de variação quando o incremento fica cada vez menor.
    • A expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é chamada de quociente diferencial ou quociente incremental; é a razão entre a variação em y e a variação em x.

Passo 3

Calcular f(x+h) substituindo x+h na função\n
  • Começo por avaliar f(x+h) usando f(x)=3x^{2}+4:
f(x+h)=3(x+h)^{2}+4.
  • Expandindo (x+h)^{2}:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}.
  • Portanto:
f(x+h)=3\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}\bigr)+4=3x^{2}+6xh+3h^{2}+4.

Passo 4

Formar o quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} e simplificar\n
  • Primeiro calcule f(x+h)-f(x):
f(x+h)-f(x)=\bigl(3x^{2}+6xh+3h^{2}+4\bigr)-\bigl(3x^{2}+4\bigr).
  • Cancelam-se 3x^{2} e 4, sobrando:
f(x+h)-f(x)=6xh+3h^{2}.
  • Coloca-se em evidência h:
f(x+h)-f(x)=h\bigl(6x+3h\bigr).
  • Agora divide-se por h para obter o quociente:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=6x+3h.

Passo 5

Tomar o limite quando h\to 0\n
  • Aplicando a definição da derivada:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\bigl(6x+3h\bigr).
  • Como 6x não depende de h e \lim_{h\to0}3h=0, temos
\lim_{h\to0}\bigl(6x+3h\bigr)=6x.

Passo 6

Interpretação e dica prática para a prova\n
  • A conta acima mostrou, pelo limite, que o termo constante 4 desaparece (derivada de constante é zero) e que a derivada de x^{2} aparece multiplicada pelo fator 3. Isso explica por que, de forma geral, multiplicar a função por uma constante multiplica também a derivada por essa constante.\n
  • Dica de memorização prática (útil na prova): a regra do poder \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} pode ser deduzida usando exatamente o mesmo processo; aqui, para n=2 e multiplicando por 3, obtém-se o resultado que vimos.\n
  • Exemplo numérico rápido para ganhar confiança: a inclinação da tangente em x=2 é 6\cdot 2=12. Isso significa que, naquele ponto, a função cresce com taxa 12 unidades de y por unidade de x.

Resposta

y'=6x

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