Utilizando a definição formal de derivadas (por limite), calcule a derivada das seguintes funções:
;
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada, usando a definição por limite, da função
Informações dadas:
- A função é
. - Deve-se usar a definição de derivada por limite (diferença incremental).
- A função não está definida em
; portanto só faz sentido procurar a derivada para .
Passo 2
Lembrete da definição que vamos usar (explicando cada símbolo): a derivada de
no ponto
é
onde
é um pequeno incremento em
. A expressão
é chamada quociente de diferença; ao fazermos
tendendo a zero, obtemos a taxa instantânea de variação de
em
.
Passo 3
Calcular
. Substituindo
na função:
Passo 4
Montar o quociente de diferença:
Plano: simplificar a diferença de frações do numerador encontrando denominador comum, simplificar o fator
e depois tomar o limite
.
Passo 5
Colocar as duas frações do numerador sobre o mesmo denominador
:
Agora expandir cuidadosamente os numeradores (vou abrir parênteses passo a passo):
Primeiro termo:
Primeiro termo:
Organizando:
Segundo termo:
organizanso:
Subtraindo os dois (primeiro menos segundo) muitos termos cancelam:
Portanto o numerador original ficou muito simples:
Passo 6
Voltar ao quociente de diferença e simplificar o
:
Agora tomamos o limite quando
. Como o denominador é contínuo em
para
, basta substituir
no denominador:
válido para todo
.
Passo 7
Interpretação final e observações práticas para a prova:
- A derivada é
. Note que é sempre positiva (para ), pois o quadrado no denominador é positivo. - A derivada não existe em
porque a função nem mesmo está definida ali. - Atalho útil (se for permitido usá-lo na prova): aplicar a regra do quociente dá o mesmo resultado; aqui fizemos por definição para treinar o procedimento.