Utilizando a definição formal de derivadas (por limite), calcule a derivada das seguintes funções:
y=\frac{2+x}{3-x};

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada, usando a definição por limite, da função
y=\frac{2+x}{3-x}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{x+2}{3-x}.
  • Deve-se usar a definição de derivada por limite (diferença incremental).
  • A função não está definida em x=3; portanto só faz sentido procurar a derivada para x\neq3.

Passo 2

Lembrete da definição que vamos usar (explicando cada símbolo): a derivada de f no ponto x é
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
onde h é um pequeno incremento em x. A expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é chamada quociente de diferença; ao fazermos h tendendo a zero, obtemos a taxa instantânea de variação de f em x.

Passo 3

Calcular f(x+h). Substituindo x+h na função:
f(x+h)=\frac{(x+h)+2}{3-(x+h)}=\frac{x+h+2}{3-x-h}.

Passo 4

Montar o quociente de diferença:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\dfrac{x+h+2}{3-x-h}-\dfrac{x+2}{3-x}}{h}.
Plano: simplificar a diferença de frações do numerador encontrando denominador comum, simplificar o fator h e depois tomar o limite h\to0.

Passo 5

Colocar as duas frações do numerador sobre o mesmo denominador (3-x-h)(3-x):
\frac{x+h+2}{3-x-h}-\frac{x+2}{3-x} = \frac{(x+h+2)(3-x)-(x+2)(3-x-h)}{(3-x-h)(3-x)}.
Agora expandir cuidadosamente os numeradores (vou abrir parênteses passo a passo):
Primeiro termo:
(x+h+2)(3-x)=3(x+h+2)-x(x+h+2)=3x+3h+6 -x^2-xh-2x.
Organizando:
(x+h+2)(3-x)=-x^2+x+6+3h-xh.
Segundo termo:
(x+2)(3-x-h)=3(x+2)-x(x+2)-h(x+2)=3x+6 -x^2-2x -hx-2h,
organizanso:
(x+2)(3-x-h)=-x^2+x+6-hx-2h.
Subtraindo os dois (primeiro menos segundo) muitos termos cancelam:
(x+h+2)(3-x)-(x+2)(3-x-h)=5h.
Portanto o numerador original ficou muito simples:
\frac{x+h+2}{3-x-h}-\frac{x+2}{3-x}=\frac{5h}{(3-x-h)(3-x)}.

Passo 6

Voltar ao quociente de diferença e simplificar o h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{1}{h}\cdot\frac{5h}{(3-x-h)(3-x)} = \frac{5}{(3-x-h)(3-x)}.
Agora tomamos o limite quando h\to0. Como o denominador é contínuo em h para x\neq3, basta substituir h=0 no denominador:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{5}{(3-x-h)(3-x)} = \frac{5}{(3-x)^2},
válido para todo x\neq3.

Passo 7

Interpretação final e observações práticas para a prova:
  • A derivada é \dfrac{5}{(3-x)^2}. Note que é sempre positiva (para x\neq3), pois o quadrado no denominador é positivo.
  • A derivada não existe em x=3 porque a função nem mesmo está definida ali.
  • Atalho útil (se for permitido usá-lo na prova): aplicar a regra do quociente dá o mesmo resultado; aqui fizemos por definição para treinar o procedimento.

Resposta

\dfrac{5}{(3-x)^2}

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