Utilizando a equação de Laplace calcule o potencial V entre duas esferas concêntricas separadas por ar. A esfera interior tem raio a e V=V0, ao passo que a externa tem raio b e V=0. Calcule também E.

Passo 1

Beleza, amigo! A questão é: “Temos duas esferas concêntricas no ar, a de dentro tem raio a e está a potencial V0, a de fora tem raio b e está a zero. Usando a equação de Laplace, queremos achar o potencial V(r) no espaço entre elas e também o campo E(r).”
Conteúdo: eletrostática, mais especificamente solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas com simetria radial. Vamos precisar usar o fato de que, num problema só em função de r, a equação de Laplace vira uma ODE simples, integrar duas vezes e aplicar as condições de contorno em r=a e r=b.

Passo 2

Teoria: A equação de Laplace em coordenadas esféricas, quando V depende só de r, é
1r^2ddr!l(r^2dVdrr)=0,
Isso significa que r^2V'(r) é constante. Vamos chamar essa constante de C1.
Integramos uma vez:
r^2dVdr=C1 Longrightarrow dVdr=C1r^2,
Agora integramos de novo, gerando outra constante C2:
$$V®=\int \frac{C_{1}}{r^{2}},dr + C_{2}
= -\frac{C_{1}}{r}+C_{2},. $$
Então a forma geral da solução é
V(r)=integral C1r^2,dr + C2 = -C1r+C2,

Passo 3

Agora usamos as condições de contorno:
  1. Em r=a, V(a)=V0:
C2-C1a=V0, (1)
2) Em r=b, V(b)=0:
C2-C1b=0, (2)
Subtraindo (2) de (1):
l(C2-C1ar)-l(C2-C1br)=V0 ;Longrightarrow; -C1a+C1b=V0 ;Longrightarrow; C1l(1b-1ar)=V0,
Logo
$$C_{1}=\frac{V_{0}}{\frac1b-\frac1a}
=\frac{V_{0},ab}{,b-a,},. $$
E de (2):
C1=V01b-1a =V0,ab,b-a,,

Passo 4

Substituindo C1 e C2 em V(r)=C2-C1/r, a gente obtém:
V(r) =V0,ab-a -1r,V0,ab,b-a, =V0,abb-al(1a-1rr) =V0,a,(b-r)r,(b-a),
Agora o campo elétrico é
E(r)=-nabla V(r) =-dVdr,hat r =-ddr!l[V0abb-al(1r-1br)r]hat r =V0abb-a,1r^2,hat r,

Resposta

Potencial entre as esferas ( a):
V(r)=V0,a,(b-r)r,(b-a),
Campo elétrico no espaço entre as esferas:
$$\displaystyle \mathbf{E}®
=\frac{V_{0},a,b}{,b-a,},\frac{1}{r^{2}};\hat r,. $$

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