Utilizando a equação de Laplace calcule o potencial
entre duas esferas concêntricas separadas por ar. A esfera interior tem raio
e
, ao passo que a externa tem raio
e
. Calcule também
.
Passo 1
Beleza, amigo! A questão é: “Temos duas esferas concêntricas no ar, a de dentro tem raio
e está a potencial
, a de fora tem raio
e está a zero. Usando a equação de Laplace, queremos achar o potencial
no espaço entre elas e também o campo
.”
Conteúdo: eletrostática, mais especificamente solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas com simetria radial. Vamos precisar usar o fato de que, num problema só em função de , a equação de Laplace vira uma ODE simples, integrar duas vezes e aplicar as condições de contorno em
e
.
Conteúdo: eletrostática, mais especificamente solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas com simetria radial. Vamos precisar usar o fato de que, num problema só em função de
Passo 2
Teoria: A equação de Laplace em coordenadas esféricas, quando
depende só de
, é
Isso significa que
Integramos uma vez:
Agora integramos de novo, gerando outra constante
:
$$V®=\int \frac{C_{1}}{r^{2}},dr + C_{2}
= -\frac{C_{1}}{r}+C_{2},. $$
Então a forma geral da solução é
Passo 3
Agora usamos as condições de contorno:
- Em
, :
2) Em
Subtraindo (2) de (1):
Logo
$$C_{1}=\frac{V_{0}}{\frac1b-\frac1a}
=\frac{V_{0},ab}{,b-a,},. $$
E de (2):
Passo 4
Substituindo
e
em
, a gente obtém:
Agora o campo elétrico é
Resposta
Potencial entre as esferas (
):
Campo elétrico no espaço entre as esferas:
$$\displaystyle \mathbf{E}®
=\frac{V_{0},a,b}{,b-a,},\frac{1}{r^{2}};\hat r,. $$