Utilizando a Expansão de Cofatores (Teorema de Laplace) em uma linha ou coluna de sua escolha, calcule o determinante da matriz \underset{\sim}{E}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 3 \\\\ 4 & 5 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & -1 & 0 \\\\ 0 & 3 & 2 & 4\end{array}\right).

Passo 1

Resumindo, temos a matriz
\tilde{E} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3\\\\ 4 & 5 & 0 & 1\\\\ 2 & 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix}
e precisamos calcular \det(\tilde{E}) usando a expansão de Laplace (cofatores) em uma linha ou coluna. Vamos escolher a coluna 3, pois nela aparecem dois zeros, o que simplifica o cálculo.

Passo 2

Aplicando a expansão de Laplace ao longo da coluna 3, escrevemos
\det(\tilde{E}) =\sum_{i=1}^{4}(-1)^{i+3}\,e_{i3}\,\det\bigl(M_{i3}\bigr),
onde e_{i3} é o elemento na posição (i,3) e M_{i3} é o menor correspondente. Como e_{13}=0 e e_{23}=0, só restam as contribuições de i=3 e i=4:
\det(\tilde{E}) =(-1)^{3+3}(-1)\det(M_{33}) +(-1)^{4+3}(2)\det(M_{43}).

Passo 3

Primeiro, removendo a linha 3 e a coluna 3, o menor M_{33} é
M_{33} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 4 & 5 & 1\\\\ 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}.
Calculamos
\det(M_{33}) =1\,(5\cdot4 - 1\cdot3) -2\,(4\cdot4 - 1\cdot0) +3\,(4\cdot3 - 5\cdot0) =17 - 32 + 36 = 21.
Como (-1)^{6}=1 e e_{33}=-1, essa parte contribui com -1\cdot21=-21.

Passo 4

Em seguida, removendo a linha 4 e a coluna 3, o menor M_{43} é
M_{43} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 4 & 5 & 1\\\\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Calculamos
\det(M_{43}) =1\,(5\cdot0 - 1\cdot1) -2\,(4\cdot0 - 1\cdot2) +3\,(4\cdot1 - 5\cdot2) =-1 -2(-2) +3(-6)=-1+4-18=-15.
Aqui (-1)^{7}=-1 e e_{43}=2, então esta parte contribui com -1\cdot2\cdot(-15)=30.

Passo 5

Somando as duas contribuições, obtemos
\det(\tilde{E}) = -21 + 30 = 9.

Resposta

\det(\tilde{E}) = 9

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