A velocidade \mathrm{v}(\mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}) de um foguete lançado do solo foi medida quatro vezes, t segundos após o lançamento, e os dados foram registrados na tabela abaixo. Calcular usando um polinômio de 4^{\circ} grau, a velocidade aproximada do foguete após 25 segundos do lançamento usando o polinômio interpolador da Forma de Lagrange.
x f(x)
0 0,000
8 52,032
20 160,450
30 275,961
45 370,276

Passo 1

O enunciado pede: calcular a velocidade aproximada do foguete após 25 segundos usando um polinômio interpolador de 4^{\circ} grau na Forma de Lagrange, a partir dos pontos medidos.
Dados fornecidos (pontos (x_i,f(x_i))):
(x_0,f(x_0))=(0,\;0,000),
(x_1,f(x_1))=(8,\;52,032),
(x_2,f(x_2))=(20,\;160,450),
(x_3,f(x_3))=(30,\;275,961),
(x_4,f(x_4))=(45,\;370,276).
Pergunta clara: calcular f(25) aproximado pelo polinômio interpolador de grau 4 obtido por Lagrange.

Passo 2

Apresentando a Fórmula de Lagrange (o que vamos usar): o polinômio interpolador de grau 4 para os pontos (x_i,f(x_i)), i=0,\dots,4, é
P_4(x)=\sum_{i=0}^{4} f(x_i)\,L_i(x),
onde cada polinômio base L_i(x) é dado por
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\neq i}}^{4}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Explicação dos símbolos: x é o ponto onde queremos avaliar (aqui x=25), x_i são as abscissas conhecidas, f(x_i) são os valores medidos, e L_i(x) é construído para valer 1 em x=x_i e 0 em todos os outros x_j ( j\neq i). Assim P_4(x) combina os valores f(x_i) com esses pesos para produzir a interpolação.

Passo 3

Vamos calcular L_i(25) para cada i. Primeiro reescrevo os nós:
x_0=0,\quad x_1=8,\quad x_2=20,\quad x_3=30,\quad x_4=45.
Para cada i calculo o denominador \prod_{j\ne i}(x_i-x_j) (fixo x_i) e o numerador \prod_{j\ne i}(25-x_j) (substituindo x=25). Faço um por um.
Cálculo para i=0 ( x_0=0):
\text{den}_0=(0-8)(0-20)(0-30)(0-45)=(-8)(-20)(-30)(-45)=216000.
\text{num}_0=(25-8)(25-20)(25-30)(25-45)=17\cdot5\cdot(-5)\cdot(-20)=8500.
Portanto
L_0(25)=\frac{8500}{216000}=\frac{17}{432}\approx0,039351852.

Passo 4

Cálculo para i=1 ( x_1=8):
\text{den}_1=(8-0)(8-20)(8-30)(8-45)=8\cdot(-12)\cdot(-22)\cdot(-37)=-78144.
\text{num}_1=(25-0)(25-20)(25-30)(25-45)=25\cdot5\cdot(-5)\cdot(-20)=12500.
Logo
L_1(25)=\frac{12500}{-78144}=-\frac{3125}{19536}\approx-0,159961\;(\text{aprox.}).

Passo 5

Cálculo para i=2 ( x_2=20):
\text{den}_2=(20-0)(20-8)(20-30)(20-45)=20\cdot12\cdot(-10)\cdot(-25)=60000.
\text{num}_2=(25-0)(25-8)(25-30)(25-45)=25\cdot17\cdot(-5)\cdot(-20)=42500.
Então
L_2(25)=\frac{42500}{60000}=\frac{17}{24}\approx0,708333333.

Passo 6

Cálculo para i=3 ( x_3=30):
\text{den}_3=(30-0)(30-8)(30-20)(30-45)=30\cdot22\cdot10\cdot(-15)=-99000.
\text{num}_3=(25-0)(25-8)(25-20)(25-45)=25\cdot17\cdot5\cdot(-20)=-42500.
Portanto
L_3(25)=\frac{-42500}{-99000}=\frac{42500}{99000}=\frac{85}{198}\approx0,429292929.

Passo 7

Cálculo para i=4 ( x_4=45):
\text{den}_4=(45-0)(45-8)(45-20)(45-30)=45\cdot37\cdot25\cdot15=624375.
\text{num}_4=(25-0)(25-8)(25-20)(25-30)=25\cdot17\cdot5\cdot(-5)=-10625.
Logo
L_4(25)=\frac{-10625}{624375}=-\frac{17}{999}\approx-0,017017017.

Passo 8

Verificação rápida (propriedade): \sum_{i=0}^{4}L_i(25)\approx0,039351852-0,159961+0,708333333+0,429292929-0,017017017\approx1{,}00000008, ou seja, soma cerca de 1 (bom sinal; arredondamentos explicam a pequena diferença).

Passo 9

Agora calculo as contribuições f(x_i)\,L_i(25) e somo para obter P_4(25):
Termos individuais:
f(x_0)L_0(25)=0,000\cdot\frac{17}{432}=0.
f(x_1)L_1(25)=52,032\cdot\left(-\frac{3125}{19536}\right)=-\frac{52,032\cdot3125}{19536}=-\frac{162600}{19536}\approx-8{,}323095801.
(Observe que 52,032\cdot3125=162600 foi calculado exatamente.)
f(x_2)L_2(25)=160,450\cdot\frac{17}{24}=\frac{160,450\cdot17}{24}=\frac{2727,65}{24}\approx113{,}652083333.
f(x_3)L_3(25)=275,961\cdot\frac{85}{198}=\frac{275,961\cdot85}{198}=\frac{23456,685}{198}\approx118{,}468333333.
f(x_4)L_4(25)=370,276\cdot\left(-\frac{17}{999}\right)=-\frac{370,276\cdot17}{999}=-\frac{6294,692}{999}\approx-6{,}300992993.

Passo 10

Somando todas as contribuições:
P_4(25)=0-8{,}323095801+113{,}652083333+118{,}468333333-6{,}300992993\approx217{,}496327874.
Arredondando de forma razoável (os dados originais têm até três casas decimais), apresento o resultado com seis casas decimais:
P_4(25)\approx217{,}496328\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

217{,}496328\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados