A velocidade
de um foguete lançado do solo foi medida quatro vezes, t segundos após o lançamento, e os dados foram registrados na tabela abaixo. Calcular usando um polinômio de
grau, a velocidade aproximada do foguete após 25 segundos do lançamento usando o polinômio interpolador da Forma de Lagrange.
0
0,000
8
52,032
20
160,450
30
275,961
45
370,276
|
|
|
| 0 | 0,000 |
| 8 | 52,032 |
| 20 | 160,450 |
| 30 | 275,961 |
| 45 | 370,276 |
Passo 1
O enunciado pede: calcular a velocidade aproximada do foguete após
segundos usando um polinômio interpolador de
grau na Forma de Lagrange, a partir dos pontos medidos.
Dados fornecidos (pontos ):
Dados fornecidos (pontos
Pergunta clara: calcular
aproximado pelo polinômio interpolador de grau
obtido por Lagrange.
Passo 2
Apresentando a Fórmula de Lagrange (o que vamos usar): o polinômio interpolador de grau
para os pontos
,
, é
onde cada polinômio base
é dado por
Explicação dos símbolos:
é o ponto onde queremos avaliar (aqui
),
são as abscissas conhecidas,
são os valores medidos, e
é construído para valer
em
e
em todos os outros
(
). Assim
combina os valores
com esses pesos para produzir a interpolação.
Passo 3
Vamos calcular
para cada
. Primeiro reescrevo os nós:
Para cada
calculo o denominador
(fixo
) e o numerador
(substituindo
). Faço um por um.
Cálculo para
(
):
Portanto
Passo 4
Cálculo para
(
):
Logo
Passo 5
Cálculo para
(
):
Então
Passo 6
Cálculo para
(
):
Portanto
Passo 7
Cálculo para
(
):
Logo
Passo 8
Verificação rápida (propriedade):
, ou seja, soma cerca de
(bom sinal; arredondamentos explicam a pequena diferença).
Passo 9
Agora calculo as contribuições
e somo para obter
:
Termos individuais:
(Observe que
foi calculado exatamente.)
Passo 10
Somando todas as contribuições:
Arredondando de forma razoável (os dados originais têm até três casas decimais), apresento o resultado com seis casas decimais: