Utilizando o método da Bissecção, calcule 4 iterações (caso o método não falhe) para obtenção da raiz da função f(x)=x^{2}-2 x.
OBS: x_{m}=\frac{a+b}{2}
Ite. \mathbf{a} \mathbf{b} x_{m} \mathbf{f}(\mathbf{a}) \mathbf{f}(\mathbf{b}) \mathbf{f}\left(x_{m}\right)
1
2
3
4

Passo 1

O enunciado pede que, utilizando o método da bissecção, sejam feitas 4 iterações (se o método não falhar) para encontrar a raiz da função \;f(x)=x^{2}-2x\;. Foi dada a fórmula do ponto médio \;x_{m}=\dfrac{a+b}{2}\; e uma tabela com as colunas \;a,\;b,\;x_{m},\;f(a),\;f(b),\;f(x_{m})\; para preencher em cada iteração.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é \;f(x)=x^{2}-2x\;.
  • Fórmula do ponto médio: \;x_{m}=\dfrac{a+b}{2}\;.
  • É necessário fazer exatamente 4 iterações e registrar \;a,\;b,\;x_{m},\;f(a),\;f(b),\;f(x_{m})\; em cada uma.
  • O enunciado não forneceu um intervalo inicial (a,b); portanto preciso escolher um intervalo inicial que satisfaça \;f(a)\,f(b)<0\; (condição para aplicar bissecção). A escolha do intervalo inicial será feita no Passo 2.

Passo 2

Escolhendo o intervalo inicial e lembrando a ideia do método (curtinha e didática):
  • A ideia da bissecção é começar com um intervalo (a,b) tal que \;f(a) e \;f(b) tenham sinais opostos (ou seja \;f(a)\,f(b)<0), garantindo ao menos uma raiz nesse intervalo. Em seguida calcula-se o ponto médio \;x_m=\dfrac{a+b}{2}, avalia-se \;f(x_m) e substitui-se um dos extremos pelo ponto médio, escolhendo sempre o subintervalo onde há troca de sinal. Repetir.
  • Vou escolher o intervalo inicial \;(a,b)=(1,4).\n
    Verificação de que há mudança de sinal:
f(1)=1^{2}-2\cdot1=-1, \qquad f(4)=4^{2}-2\cdot4=16-8=8.
Como \;f(1)=-1<0\; e \;f(4)=8>0\;, vale \;f(1)\,f(4)=-8<0\;, logo existe pelo menos uma raiz em [1,4]. (Na verdade as raízes exatas da função são \;x=0 e \;x=2, e o intervalo [1,4] contém a raiz \;x=2.)

Passo 3

Iteração 1 (com \;(a,b)=(1,4)):
  • Calcular o ponto médio:
x_{m}=\dfrac{1+4}{2}=\dfrac{5}{2}=2,5.
  • Avaliar a função nos extremos e no ponto médio:
f(1)=-1,\qquad f(4)=8,
f\!\left(\dfrac{5}{2}\right)=\left(\dfrac{5}{2}\right)^{2}-2\cdot\dfrac{5}{2}=\dfrac{25}{4}-5=\dfrac{5}{4}=1,25.
  • Teste de sinal: \;f(1)=-1<0\; e \;f(2,5)=1,25>0. Como \;f(1)\,f(2,5)=-1{,}25<0\;, a raiz está no subintervalo [1,2{,}5]. Assim, para a próxima iteração usamos \;(a,b)=(1,2{,}5).

Passo 4

Iteração 2 (com \;(a,b)=(1,2{,}5)):
  • Ponto médio:
x_{m}=\dfrac{1+2{,}5}{2}=\dfrac{7}{4}=1{,}75.
  • Avaliações:
f(1)=-1,\qquad f(2{,}5)=\dfrac{5}{4}=1{,}25,
f\!\left(\dfrac{7}{4}\right)=\left(\dfrac{7}{4}\right)^{2}-2\cdot\dfrac{7}{4}=\dfrac{49}{16}-\dfrac{56}{16}=-\dfrac{7}{16}=-0{,}4375.
  • Teste de sinal: \;f(1{,}75)=-0{,}4375<0\; e \;f(2{,}5)=1{,}25>0. Como \;f(1{,}75)\,f(2{,}5)<0\;, a raiz está em [1{,}75,\,2{,}5]. Para a próxima iteração usamos \;(a,b)=(1{,}75,2{,}5).

Passo 5

Iteração 3 (com \;(a,b)=(1{,}75,2{,}5)):
  • Ponto médio:
x_{m}=\dfrac{1{,}75+2{,}5}{2}=\dfrac{17}{8}=2{,}125.
  • Avaliações:
f(1{,}75)=-\dfrac{7}{16}=-0{,}4375,\qquad f(2{,}5)=\dfrac{5}{4}=1{,}25,
f\!\left(\dfrac{17}{8}\right)=\left(\dfrac{17}{8}\right)^{2}-2\cdot\dfrac{17}{8}=\dfrac{289}{64}-\dfrac{272}{64}=\dfrac{17}{64}=0{,}265625.
  • Teste de sinal: \;f(1{,}75)=-0{,}4375<0\; e \;f(2{,}125)=0{,}265625>0. Como \;f(1{,}75)\,f(2{,}125)<0\;, a raiz está em [1{,}75,\,2{,}125]. Para a próxima iteração usamos \;(a,b)=(1{,}75,2{,}125).

Passo 6

Iteração 4 (com \;(a,b)=(1{,}75,2{,}125)):
  • Ponto médio:
x_{m}=\dfrac{1{,}75+2{,}125}{2}=\dfrac{31}{16}=1{,}9375.
  • Avaliações:
f(1{,}75)=-\dfrac{7}{16}=-0{,}4375,\qquad f(2{,}125)=\dfrac{17}{64}=0{,}265625,
f\!\left(\dfrac{31}{16}\right)=\left(\dfrac{31}{16}\right)^{2}-2\cdot\dfrac{31}{16}=\dfrac{961}{256}-\dfrac{992}{256}=-\dfrac{31}{256}=-0{,}12109375.
  • Teste de sinal: \;f(1{,}9375)=-0{,}12109375<0\; e \;f(2{,}125)=0{,}265625>0. Portanto a raiz está no intervalo [1{,}9375,\,2{,}125] após 4 iterações.
Breve comentário final (didático e motivador): depois de 4 iterações a raiz está garantidamente dentro do intervalo \;[1{,}9375,\,2{,}125]. O comprimento inicial do intervalo era 4-1=3; após 4 iterações o comprimento do intervalo é \;3/2^{4}=3/16=0{,}1875. Se quiser uma aproximação numérica central, o ponto médio desse último intervalo seria \;(1{,}9375+2{,}125)/2=2{,}03125, que já está bem perto da raiz exata \;x=2. Vai dar tudo certo na prova — respira e pratica mais algumas bissecções rápidas como essa!

Resposta

Iteração 1: a=1,\; b=4,\; x_{m}=\dfrac{1+4}{2}=\dfrac{5}{2}=2{,}5,\; f(a)=-1,\; f(b)=8,\; f(x_{m})=\dfrac{5}{4}=1{,}25
Iteração 2: a=1,\; b=2{,}5,\; x_{m}=\dfrac{1+2{,}5}{2}=\dfrac{7}{4}=1{,}75,\; f(a)=-1,\; f(b)=\dfrac{5}{4}=1{,}25,\; f(x_{m})=-\dfrac{7}{16}=-0{,}4375
Iteração 3: a=1{,}75,\; b=2{,}5,\; x_{m}=\dfrac{1{,}75+2{,}5}{2}=\dfrac{17}{8}=2{,}125,\; f(a)=-\dfrac{7}{16}=-0{,}4375,\; f(b)=\dfrac{5}{4}=1{,}25,\; f(x_{m})=\dfrac{17}{64}=0{,}265625
Iteração 4: a=1{,}75,\; b=2{,}125,\; x_{m}=\dfrac{1{,}75+2{,}125}{2}=\dfrac{31}{16}=1{,}9375,\; f(a)=-\dfrac{7}{16}=-0{,}4375,\; f(b)=\dfrac{17}{64}=0{,}265625,\; f(x_{m})=-\dfrac{31}{256}=-0{,}12109375

Exercícios relacionados