Utilizando o método da Bissecção, calcule 4 iterações (caso o método não falhe) para obtenção da raiz da função
.
OBS:
Ite.
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2
3
4
OBS:
| Ite. |
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| 2 | ||||||
| 3 | ||||||
| 4 |
Passo 1
O enunciado pede que, utilizando o método da bissecção, sejam feitas 4 iterações (se o método não falhar) para encontrar a raiz da função
. Foi dada a fórmula do ponto médio
e uma tabela com as colunas
para preencher em cada iteração.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Fórmula do ponto médio:
. - É necessário fazer exatamente 4 iterações e registrar
em cada uma. - O enunciado não forneceu um intervalo inicial
; portanto preciso escolher um intervalo inicial que satisfaça (condição para aplicar bissecção). A escolha do intervalo inicial será feita no Passo 2.
Passo 2
Escolhendo o intervalo inicial e lembrando a ideia do método (curtinha e didática):
- A ideia da bissecção é começar com um intervalo
tal que e tenham sinais opostos (ou seja ), garantindo ao menos uma raiz nesse intervalo. Em seguida calcula-se o ponto médio , avalia-se e substitui-se um dos extremos pelo ponto médio, escolhendo sempre o subintervalo onde há troca de sinal. Repetir. - Vou escolher o intervalo inicial
.\n
Verificação de que há mudança de sinal:
Como
e
, vale
, logo existe pelo menos uma raiz em
. (Na verdade as raízes exatas da função são
e
, e o intervalo
contém a raiz
.)
Passo 3
Iteração 1 (com
):
- Calcular o ponto médio:
- Avaliar a função nos extremos e no ponto médio:
- Teste de sinal:
e . Como , a raiz está no subintervalo . Assim, para a próxima iteração usamos .
Passo 4
Iteração 2 (com
):
- Ponto médio:
- Avaliações:
- Teste de sinal:
e . Como , a raiz está em . Para a próxima iteração usamos .
Passo 5
Iteração 3 (com
):
- Ponto médio:
- Avaliações:
- Teste de sinal:
e . Como , a raiz está em . Para a próxima iteração usamos .
Passo 6
Iteração 4 (com
):
- Ponto médio:
- Avaliações:
- Teste de sinal:
e . Portanto a raiz está no intervalo após 4 iterações.
Breve comentário final (didático e motivador): depois de 4 iterações a raiz está garantidamente dentro do intervalo
. O comprimento inicial do intervalo era
; após 4 iterações o comprimento do intervalo é
. Se quiser uma aproximação numérica central, o ponto médio desse último intervalo seria
, que já está bem perto da raiz exata
. Vai dar tudo certo na prova — respira e pratica mais algumas bissecções rápidas como essa!
Resposta
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4: