Utilizando o método dos coeficientes a determinar, resolva a equação:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar encontrar a solução complementar (da parte homogênea) e uma solução particular adequada para o polinômio do lado direito.
Passo 2
Para a parte homogênea
montamos a equação característica
que é
Logo a raiz dupla é
e a solução complementar fica
Passo 3
Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 2, chutamos uma solução particular do tipo
Calculamos as derivadas:
Passo 4
Substituindo em
a parte esquerda com
vira
Isso deve ser igual a
, então igualamos coeficientes:
Resolvendo, obtemos
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é a soma de
com
: