Utilizando o método dos coeficientes a determinar, resolva a equação:
y^prime prime+6 y^prime+9 y=x^2+2 x-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
y'' + 6y' + 9y = x^2 + 2x - 3
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar encontrar a solução complementar (da parte homogênea) e uma solução particular adequada para o polinômio do lado direito.

Passo 2

Para a parte homogênea
y'' + 6y' + 9y = 0
montamos a equação característica
r^2 + 6r + 9 = 0
que é
(r + 3)^2 = 0
Logo a raiz dupla é r = -3 e a solução complementar fica
yc(x) = C1 e^-3x + C2 x e^-3x

Passo 3

Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 2, chutamos uma solução particular do tipo
yp(x) = A x^2 + B x + C
Calculamos as derivadas:
yp'(x) = 2A x + B,
yp''(x) = 2A

Passo 4

Substituindo em
y'' + 6y' + 9y = x^2 + 2x - 3
a parte esquerda com yp vira
2A + 6(2A x + B) + 9(A x^2 + B x + C) = 9A x^2 + (12A + 9B)x + (2A + 6B + 9C)
Isso deve ser igual a x^2 + 2x - 3, então igualamos coeficientes:
9A = 1,
12A + 9B = 2,
2A + 6B + 9C = -3
Resolvendo, obtemos
A = 19,
B = 227,
C = -1127

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma de yc com yp:
y(x) = C1 e^-3x + C2 x e^-3x + 19x^2 + 227x - 1127

Resposta

y(x) = C1 e^-3x + C2 x e^-3x + 19x^2 + 227x - 1127

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