Utilizando o método variação de parâmetros, resolva a equação:
Passo 1
Resumo do enunciado: a equação é . O conteúdo é variação de parâmetros para EDO linear de 2ª ordem. Para resolver, vamos precisar da solução geral da homogênea, das soluções fundamentais e e do Wronskiano.
Passo 2
Primeiro achamos a solução da homogênea resolvendo a equação característica , que tem raiz dupla . Logo, a solução homogênea é .
Passo 3
Escolhemos as soluções fundamentais e e calculamos o Wronskiano:
Passo 4
Na variação de parâmetros buscamos uma solução particular da forma yp = v1(x)y1 + v2(x)y2 e as funções v1 e v2 satisfazem:
v1' = -y2,g(x)W, v2' = y1,g(x)W,
com g(x) = e^3xx.
Passo 5
Substituindo y1, y2 e g(x) em v1' e v2' obtemos:
v1' = -1, v2' = 1x
Integrando, v1 = -x e v2 = ln|x|.
Passo 6
A solução particular fica:
yp = v1y1 + v2y2 = e^3x(xln|x| - x)
Portanto, a solução geral é:
y = C1e^3x + C2 x e^3x + e^3x(xln|x| - x)
Resposta
A solução geral da equação é y = e^3x(C1 + C2 x + xln|x| - x).