Utilizando o método variação de parâmetros, resolva a equação:
y^prime prime-6 y^prime+9 y=e^3 xx

Passo 1

Resumo do enunciado: a equação é y'' - 6y' + 9y = e^3xx. O conteúdo é variação de parâmetros para EDO linear de 2ª ordem. Para resolver, vamos precisar da solução geral da homogênea, das soluções fundamentais y1 e y2 e do Wronskiano.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da homogênea resolvendo a equação característica r^2 - 6r + 9 = 0, que tem raiz dupla r = 3. Logo, a solução homogênea é yh = C1 e^3x + C2 x e^3x.

Passo 3

Escolhemos as soluções fundamentais y1 = e^3x e y2 = x e^3x e calculamos o Wronskiano:
W(x) = y1 & y2 y1' & y2' = e^6x

Passo 4

Na variação de parâmetros buscamos uma solução particular da forma yp = v1(x)y1 + v2(x)y2 e as funções v1 e v2 satisfazem:
v1' = -y2,g(x)W, v2' = y1,g(x)W,
com g(x) = e^3xx.

Passo 5

Substituindo y1, y2 e g(x) em v1' e v2' obtemos:
v1' = -1, v2' = 1x
Integrando, v1 = -x e v2 = ln|x|.

Passo 6

A solução particular fica:
yp = v1y1 + v2y2 = e^3x(xln|x| - x)
Portanto, a solução geral é:
y = C1e^3x + C2 x e^3x + e^3x(xln|x| - x)

Resposta

A solução geral da equação é y = e^3x(C1 + C2 x + xln|x| - x).

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