Utilizando o método dos coeficientes a determinar, resolva a equação:
y^prime prime-4 y^prime+13 y=e^-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - 4y’ + 13 y = e^{-x} $ usando o método dos coeficientes a determinar. Esse método é útil para encontrar soluções de equações diferenciais lineares quando o lado direito (não homogêneo) é uma função específica, como uma exponencial, seno, cosseno ou polinômio. Para resolver, vamos precisar encontrar duas partes: a solução complementar (da equação homogênea) e a solução particular (da equação completa).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ y’’ - 4y’ + 13 y = 0 $. Para isso, assumimos uma solução do tipo $ y = e^{rt} $ e substituímos na equação para encontrar os valores de $ r $.
Substituindo, temos:
y'' - 4y' + 13 y = 0
Dividindo por $ e^{rt} $ (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
y = e^rt

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica $ r^2 - 4r + 13 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 - 4r + 13 = 0
Calculando o discriminante:
r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 132 cdot 1
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:
De

Passo 4

Com as raízes $ r = 2 \pm 3i $, a solução complementar é:
r = 2 pm 3i
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular $ y_p $ para a equação completa $ y’’ - 4y’ + 13 y = e^{-x} $. Usamos o método dos coeficientes a determinar assumindo uma forma para $ y_p $ que se assemelhe ao lado direito. Como o lado direito é $ e^{-x} $, tentamos:
yp
onde $ A $ é uma constante a ser encontrada.

Passo 6

Calculamos as derivadas de $ y_p $:
yp
yp' = -A e^-x
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
yp'' = A e^-x
Simplificando:
yp
yp'
yp''

Passo 7

Para que a equação seja verdadeira, os coeficientes de $ e^{-x} $ devem ser iguais:
e^-x
18A = 1
Então, a solução particular é:
A = 118

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular:
y = yc + yp
y = e^2x(C1 cos 3x + C2 sin 3x) + 118 e^-x

Resposta

A solução geral da equação é:
y = e^2x(C1 cos 3x + C2 sin 3x) + 118 e^-x

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