Utilizando o método dos coeficientes a determinar, resolva a equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - 4y’ + 13 y = e^{-x} $ usando o método dos coeficientes a determinar. Esse método é útil para encontrar soluções de equações diferenciais lineares quando o lado direito (não homogêneo) é uma função específica, como uma exponencial, seno, cosseno ou polinômio. Para resolver, vamos precisar encontrar duas partes: a solução complementar (da equação homogênea) e a solução particular (da equação completa).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ y’’ - 4y’ + 13 y = 0 $. Para isso, assumimos uma solução do tipo $ y = e^{rt} $ e substituímos na equação para encontrar os valores de $ r $.
Substituindo, temos:
Dividindo por $ e^{rt} $ (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica $ r^2 - 4r + 13 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:
Passo 4
Com as raízes $ r = 2 \pm 3i $, a solução complementar é:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular $ y_p $ para a equação completa $ y’’ - 4y’ + 13 y = e^{-x} $. Usamos o método dos coeficientes a determinar assumindo uma forma para $ y_p $ que se assemelhe ao lado direito. Como o lado direito é $ e^{-x} $, tentamos:
onde $ A $ é uma constante a ser encontrada.
Passo 6
Calculamos as derivadas de $ y_p $:
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Para que a equação seja verdadeira, os coeficientes de $ e^{-x} $ devem ser iguais:
Então, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação é: