Utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados, determine a solução geral de cada EDO abaixo:
y^{\prime \prime}-y=\cos (2 t)-2 \operatorname{sen}(2 t)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y''-y=\cos(2t)-2\sin(2t),
que é linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo dado por combinação de \cos(2t) e \sin(2t). Vamos aplicar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro a solução geral da homogênea e depois uma solução particular adaptada ao forçamento.

Passo 2

Estudamos a equação homogênea associada
y''-y=0.
A equação característica é
r^2-1=0
cuja raiz dupla simples dá
r=\pm1.
Portanto a solução complementar (homogênea) é
y_c=C_1e^t + C_2e^{-t}.

Passo 3

Para obter uma solução particular y_p, note que o termo não homogêneo é combinação de \cos(2t) e \sin(2t). Como \pm2i não são raízes da característica, fazemos o ansatz
y_p = A\cos(2t) + B\sin(2t),
com A e B a determinar.

Passo 4

Calculamos derivadas de y_p:
y_p' = -2A\sin(2t) + 2B\cos(2t),
y_p'' = -4A\cos(2t) -4B\sin(2t).
Substituindo em y''-y obtemos
y_p''-y_p = \bigl(-4A\cos(2t)-4B\sin(2t)\bigr)-\bigl(A\cos(2t)+B\sin(2t)\bigr) = -5A\cos(2t)-5B\sin(2t).

Passo 5

Igualamos ao forçamento \cos(2t)-2\sin(2t):
-5A\cos(2t)-5B\sin(2t)=1\cdot\cos(2t)-2\cdot\sin(2t).
Logo
-5A=1\quad\Rightarrow\quad A=-\tfrac15,
-5B=-2\quad\Rightarrow\quad B=\tfrac25.

Passo 6

A solução particular é
y_p = -\tfrac15\cos(2t) + \tfrac25\sin(2t).
Somando à solução complementar, a solução geral fica
y(t)=C_1e^t + C_2e^{-t} - \tfrac15\cos(2t) + \tfrac25\sin(2t).

Resposta

y(t)=C_1e^t + C_2e^{-t} - \frac{1}{5}\cos(2t) + \frac{2}{5}\sin(2t).

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