Utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados, determine a solução geral de cada EDO abaixo:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=6 t+23

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem
y'' + 4y' + 3y = 6t + 23.
Trata-se de uma equação linear com coeficientes constantes e termo não homogêneo polinomial. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Resolvemos a equação homogênea associada
y'' + 4y' + 3y = 0.
A equação característica é
r^2 + 4r + 3 = 0,
cuja solução é r=-1 e r=-3. Portanto
y_h(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-3t}.

Passo 3

Conjecturamos uma solução particular da forma
y_p(t) = A\,t + B,
pois o termo forçante é polinomial de grau 1.

Passo 4

Calculamos
y_p'(t) = A,\qquad y_p''(t) = 0,
e substituímos na EDO original:
0 + 4A + 3(A\,t + B) = 6t + 23.
Isso resulta em
3A\,t + (4A + 3B) = 6t + 23.
Igualando coeficientes de t e termos constantes:
3A = 6 \implies A = 2,
4A + 3B = 23 \implies 8 + 3B = 23 \implies B = 5.
Logo
y_p(t) = 2t + 5.

Passo 5

A solução geral é a soma das partes homogênea e particular:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-3t} + 2t + 5.

Resposta

y(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-3t} + 2t + 5.

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