Utilizando o “Método dos Coeficientes Indeterminados”, encontre a solução particular e a solução geral dos problemas abaixo.
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Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar uma solução particular de
usando o Método dos Coeficientes Indeterminados; (2) montar a solução geral da equação diferencial completa.
Informações fornecidas: a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes é
Informações fornecidas: a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes é
Não há outras condições iniciais — só precisamos da solução particular e da solução geral.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada, ou seja solução de
Para isso escrevemos o polinômio característico. O procedimento é: substituir
e obter o polinômio em
:
Resolvendo essa equação quadrática (fórmula de Bhaskara):
Assim obtemos as raízes
e
. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
(Explicação curta sobre o porquê: para equações lineares com coeficientes constantes, testar
leva a um polinômio que determina os expoentes das soluções exponenciais; raízes distintas geram combinações lineares das exponenciais correspondentes.)
Passo 3
Agora aplicamos o Método dos Coeficientes Indeterminados para achar uma solução particular
de
Regra prática do método para termos do lado direito do tipo
multiplicado por um polinômio de grau
: a tentativa para
tem a forma
vezes um polinômio de grau
, possivelmente multiplicado por
se
for raiz do polinômio característico (resonância). Aqui o termo é
vezes um polinômio de grau
(ou seja
). Precisamos verificar se
é raiz do polinômio característico
.
Substituindo
no polinômio característico:
Como
NÃO é raiz do polinômio característico, não há ressonância e não precisamos multiplicar por potências de
. Logo a forma apropriada da tentativa é
onde
e
são coeficientes indeterminados que vamos determinar.
(Explicação didática: se 5 fosse raiz de multiplicidade 1, teríamos que tentar
; se fosse raiz de multiplicidade 2, tentaríamos
, etc.)
Passo 4
Calculamos as derivadas de
. Começando com
Usamos a regra do produto. Primeiro derivada:
Para simplificar, podemos definir
, então
.
Segunda derivada (derivando
):
Como
, substituindo
obtemos
Passo 5
Agora montamos o lado esquerdo da equação diferencial aplicando o operador
em
:
Substituindo as expressões obtidas:
Logo
Fatorando
:
Agora simplificamos os coeficientes:
- coeficiente de
: , - termo constante:
.
Portanto
Passo 6
Impondo que
seja igual ao lado direito da equação original, temos
Como
é nunca zero, podemos igualar coeficientes do polinômio em
:
Passo 7
Resolvemos o sistema para
e
. Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Isolando
:
Passo 8
Assim encontramos a solução particular:
Passo 9
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução geral da homogênea
com a solução particular
:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
Solução particular:
Solução geral:
Solução geral: