Utilizando o “Método dos Coeficientes Indeterminados”, encontre a solução particular e a solução geral dos problemas abaixo.
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-30 y=e^{5 x}(4 x+3);

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar uma solução particular de \,y''-y'-30y=e^{5x}(4x+3)\, usando o Método dos Coeficientes Indeterminados; (2) montar a solução geral da equação diferencial completa.
Informações fornecidas: a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes é
y''-y'-30y=e^{5x}(4x+3).
Não há outras condições iniciais — só precisamos da solução particular e da solução geral.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada, ou seja solução de
y''-y'-30y=0.
Para isso escrevemos o polinômio característico. O procedimento é: substituir y=e^{rx} e obter o polinômio em r:
r^2-r-30=0.
Resolvendo essa equação quadrática (fórmula de Bhaskara):
r=\frac{1\pm\sqrt{1+120}}{2}=\frac{1\pm11}{2}.
Assim obtemos as raízes r_1=6 e r_2=-5. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_h=C_1 e^{6x}+C_2 e^{-5x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
(Explicação curta sobre o porquê: para equações lineares com coeficientes constantes, testar y=e^{rx} leva a um polinômio que determina os expoentes das soluções exponenciais; raízes distintas geram combinações lineares das exponenciais correspondentes.)

Passo 3

Agora aplicamos o Método dos Coeficientes Indeterminados para achar uma solução particular y_p de
y''-y'-30y=e^{5x}(4x+3).
Regra prática do método para termos do lado direito do tipo e^{\alpha x} multiplicado por um polinômio de grau n: a tentativa para y_p tem a forma e^{\alpha x} vezes um polinômio de grau n, possivelmente multiplicado por x^s se \alpha for raiz do polinômio característico (resonância). Aqui o termo é e^{5x} vezes um polinômio de grau 1 (ou seja 4x+3). Precisamos verificar se \alpha=5 é raiz do polinômio característico r^2-r-30.
Substituindo r=5 no polinômio característico:
5^2-5-30=25-5-30=-10\neq 0.
Como 5 NÃO é raiz do polinômio característico, não há ressonância e não precisamos multiplicar por potências de x. Logo a forma apropriada da tentativa é
y_p=e^{5x}(Ax+B),
onde A e B são coeficientes indeterminados que vamos determinar.
(Explicação didática: se 5 fosse raiz de multiplicidade 1, teríamos que tentar x e^{5x}(Ax+B); se fosse raiz de multiplicidade 2, tentaríamos x^2 e^{5x}(Ax+B), etc.)

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p. Começando com
y_p=e^{5x}(Ax+B).
Usamos a regra do produto. Primeiro derivada:
y_p' = 5e^{5x}(Ax+B) + e^{5x}A = e^{5x}\big(5A x +5B + A\big).
Para simplificar, podemos definir U(x)=5A x +5B + A, então y_p' = e^{5x}U(x).
Segunda derivada (derivando e^{5x}U(x)):
y_p'' = 5e^{5x}U(x) + e^{5x}U'(x) = e^{5x}\big(5U(x)+U'(x)\big).
Como U'(x)=5A, substituindo U obtemos
y_p'' = e^{5x}\big(5(5Ax+5B+A)+5A\big) = e^{5x}\big(25A x +25B +10A\big).

Passo 5

Agora montamos o lado esquerdo da equação diferencial aplicando o operador L[y]=y''-y'-30y em y_p:
L[y_p] = y_p''-y_p'-30y_p.
Substituindo as expressões obtidas:
y_p'' = e^{5x}(25A x +25B +10A),
y_p' = e^{5x}(5A x +5B + A),
y_p = e^{5x}(A x + B).
Logo
L[y_p] = e^{5x}\big(25A x +25B +10A\big) - e^{5x}\big(5A x +5B + A\big) -30e^{5x}\big(A x + B\big).
Fatorando e^{5x}:
L[y_p] = e^{5x}\Big((25A x-5A x-30A x) + (25B+10A-5B-A-30B)\Big).
Agora simplificamos os coeficientes:
  • coeficiente de x: 25A-5A-30A = -10A,
  • termo constante: 25B+10A-5B-A-30B = 9A-10B.
Portanto
L[y_p] = e^{5x}\big(-10A\,x + (9A-10B)\big).

Passo 6

Impondo que L[y_p] seja igual ao lado direito da equação original, temos
e^{5x}\big(-10A\,x + (9A-10B)\big) = e^{5x}(4x+3).
Como e^{5x} é nunca zero, podemos igualar coeficientes do polinômio em x:
-10A = 4,
9A-10B = 3.

Passo 7

Resolvemos o sistema para A e B. Da primeira equação:
A = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}.
Substituindo na segunda:
9\left(-\frac{2}{5}\right) -10B = 3 \quad\Rightarrow\quad -\frac{18}{5} -10B = 3.
Isolando B:
-10B = 3 + \frac{18}{5} = \frac{15+18}{5} = \frac{33}{5},
B = -\frac{33}{50}.

Passo 8

Assim encontramos a solução particular:
y_p = e^{5x}\left(-\frac{2}{5}x - \frac{33}{50}\right).

Passo 9

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução geral da homogênea y_h com a solução particular y_p:
y = y_h + y_p = C_1 e^{6x} + C_2 e^{-5x} + e^{5x}\left(-\frac{2}{5}x - \frac{33}{50}\right),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

Solução particular: y_p = e^{5x}\left(-\dfrac{2}{5}x - \dfrac{33}{50}\right)
Solução geral: y = C_1 e^{6x} + C_2 e^{-5x} + e^{5x}\left(-\dfrac{2}{5}x - \dfrac{33}{50}\right)

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