Utilizando o “Método dos Coeficientes Indeterminados”, encontre a solução particular e a solução geral dos problemas abaixo.
;
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
O que se pede:
- Encontrar uma solução particular
da equação não-homogênea. - Encontrar a solução geral
(soma da solução geral da homogênea com ).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Não há outras condições iniciais; portanto queremos a família de soluções gerais com constantes arbitrárias.
Passo 2
Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada:
Formamos a equação característica
Calculamos o discriminante:
Como
, as raízes são complexas conjugadas:
Para raízes
a solução geral da homogênea é
Aqui
e
. Portanto
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
pelo Método dos Coeficientes Indeterminados. O termo do lado direito é
. Uma escolha natural de tentativa é
com
constantes a determinar. Antes de proceder, verificamos se há ressonância: isso ocorreria se
ou
estivesse contido na solução homogênea, o que exigiria raízes puramente imaginárias
da característica. Mas as raízes da homogênea têm parte real
e parte imaginária
, que não são
. Logo a forma tentativa
é adequada.
Passo 4
Calculamos derivadas de
:
Substituímos na equação original:
Agrupando os coeficientes de
e
obtemos
Simplificando os coeficientes:
Queremos que isso seja igual a
, isto é
Portanto obtemos o sistema linear para
:
Passo 5
Resolvendo o sistema. Da primeira equação isolamos
:
Substituindo na segunda:
Simplificando:
Colocando em denominador comum:
Logo
E então
Passo 6
Assim a solução particular é
Passo 7
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea
com a particular
:
ou explicitamente