Utilizando o “Método dos Coeficientes Indeterminados”, encontre a solução particular e a solução geral dos problemas abaixo.
y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+7 y=\sin (x);

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y'' + 5y' + 7y = \sin(x).
O que se pede:
  • Encontrar uma solução particular y_p(x) da equação não-homogênea.
  • Encontrar a solução geral y(x) (soma da solução geral da homogênea com y_p).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{Equação: } y'' + 5y' + 7y = \sin(x).çã
Não há outras condições iniciais; portanto queremos a família de soluções gerais com constantes arbitrárias.

Passo 2

Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada:
y'' + 5y' + 7y = 0.
Formamos a equação característica
r^2 + 5r + 7 = 0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = 5^2 - 4\cdot1\cdot7 = 25 - 28 = -3.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas:
r=\frac{-5\pm i\sqrt{3}}{2}.
Para raízes r=\alpha\pm i\beta a solução geral da homogênea é
y_h(x)=e^{\alpha x}\big(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\big).
Aqui \alpha=-\dfrac{5}{2} e \beta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Portanto
y_h(x)=e^{-5x/2}\big(C_1\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C_2\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\big).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p pelo Método dos Coeficientes Indeterminados. O termo do lado direito é \sin(x). Uma escolha natural de tentativa é
y_p(x)=A\cos x + B\sin x,
com A,B constantes a determinar. Antes de proceder, verificamos se há ressonância: isso ocorreria se e^{0x}\cos x ou e^{0x}\sin x estivesse contido na solução homogênea, o que exigiria raízes puramente imaginárias \pm i da característica. Mas as raízes da homogênea têm parte real -5/2 e parte imaginária \pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}, que não são \pm i. Logo a forma tentativa A\cos x + B\sin x é adequada.

Passo 4

Calculamos derivadas de y_p:
y_p' = -A\sin x + B\cos x,
y_p'' = -A\cos x - B\sin x.
Substituímos na equação original:
y_p'' + 5y_p' + 7y_p = (-A\cos x - B\sin x) + 5(-A\sin x + B\cos x) + 7(A\cos x + B\sin x).
Agrupando os coeficientes de \cos x e \sin x obtemos
\big((-A) + 5B + 7A\big)\cos x + \big((-B) -5A + 7B\big)\sin x.
Simplificando os coeficientes:
(6A + 5B)\cos x + (-5A + 6B)\sin x.
Queremos que isso seja igual a \sin x, isto é
0\cdot\cos x + 1\cdot\sin x.
Portanto obtemos o sistema linear para A,B:
\begin{cases} 6A + 5B = 0,\\[4pt] -5A + 6B = 1. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo o sistema. Da primeira equação isolamos A:
6A = -5B \quad\Rightarrow\quad A = -\dfrac{5}{6}B.
Substituindo na segunda:
-5\Big(-\dfrac{5}{6}B\Big) + 6B = 1.
Simplificando:
\dfrac{25}{6}B + 6B = 1.
Colocando em denominador comum:
\dfrac{25}{6}B + \dfrac{36}{6}B = \dfrac{61}{6}B = 1.
Logo
B = \dfrac{6}{61}.
E então
A = -\dfrac{5}{6}B = -\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{6}{61} = -\dfrac{5}{61}.

Passo 6

Assim a solução particular é
y_p(x)= -\dfrac{5}{61}\cos x + \dfrac{6}{61}\sin x.

Passo 7

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea y_h com a particular y_p:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)
ou explicitamente
y(x)=e^{-5x/2}\big(C_1\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C_2\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\big) -\dfrac{5}{61}\cos x + \dfrac{6}{61}\sin x.

Resposta

y_p(x)=-\dfrac{5}{61}\cos x+\dfrac{6}{61}\sin x
y(x)=e^{-5x/2}\big(C_1\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C_2\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\big)-\dfrac{5}{61}\cos x+\dfrac{6}{61}\sin x

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