Utilizando o “Método dos Coeficientes Indeterminados”, encontre a solução particular e a solução geral dos problemas abaixo.
;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
O que é pedido:
- Encontrar uma solução particular
da equação não homogênea. - Encontrar a solução geral
(soma da solução geral da homogênea com a solução particular).
Informações relevantes fornecidas:
O termo do lado direito é
, ou seja, um produto de exponencial por cosseno.
Passo 2
Primeiro determinamos a solução geral da equação homogênea associada (vai ser adicionada depois à solução particular). A homogênea é
Formamos a equação característica substituindo
:
Resolvendo:
Quando a equação característica tem raiz dupla
, a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias. Explico rapidamente por que: para raiz simples teríamos
; para raiz de multiplicidade 2 multiplicamos por
para obter a segunda solução independente, daí o termo
.
Passo 3
Agora aplicamos o Método dos Coeficientes Indeterminados para achar
. Observação sobre o formato do palpite (ansatz):
- O lado direito é
. Para um termo o palpite padrão é
com
constantes a determinar.
- Devemos verificar se há ressonância com a solução homogênea: a exponencial presente é
(expoente ). As raízes da característica são , não iguais a , portanto NÃO há ressonância. Assim o palpite não precisa ser multiplicado por potências de .
Portanto escolhemos o palpite
com
incógnitos.
Passo 4
Calculamos
. Para facilitar, escrevo
com
. Usando produto e regra da cadeia:
Agora
. Então
Reagrupando coeficientes de
e
:
Para ficar mais compacto, defina temporariamente
então
.
Passo 5
Calculamos
a partir de
. Aplicando a mesma regra:
Reagrupando:
Agora substituímos
e
em função de
. Lembrando
e
:
Logo
Passo 6
Agora montamos o lado esquerdo
. Somando termo a termo (todos têm fator comum
), os coeficientes de
e
são:
Coeficiente de
:
Mas lembrando
. Somando:
Coeficiente de
:
Lembrando
. Somando:
Portanto
Passo 7
Impondo
Resolvemos o sistema linear. Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Multiplicando por (7]:
E então
]
E então
Passo 8
Com
e
encontrados, a solução particular é
Passo 9
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea
e da particular
:
com
constantes arbitrárias.
Resposta
Particular:
Geral:
Geral: