Utilizando o “Método dos Coeficientes Indeterminados”, encontre a solução particular e a solução geral dos problemas abaixo.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=e^{2 x} \cos (4 x);

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y''+2y'+y=e^{2x}\cos(4x).
O que é pedido:
  • Encontrar uma solução particular y_p da equação não homogênea.
  • Encontrar a solução geral y (soma da solução geral da homogênea com a solução particular).
Informações relevantes fornecidas:
\text{Equação: } y''+2y'+y=e^{2x}\cos(4x).çã
O termo do lado direito é e^{2x}\cos(4x), ou seja, um produto de exponencial por cosseno.

Passo 2

Primeiro determinamos a solução geral da equação homogênea associada (vai ser adicionada depois à solução particular). A homogênea é
y''+2y'+y=0.
Formamos a equação característica substituindo y\mapsto e^{rx}:
r^2+2r+1=0.
Resolvendo:
r^2+2r+1=(r+1)^2=0 \implies r=-1\\ \text{(raiz dupla).}
Quando a equação característica tem raiz dupla r=-1, a solução geral da homogênea é
y_h=(C_1+C_2x)e^{-x},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias. Explico rapidamente por que: para raiz simples teríamos e^{rx}; para raiz de multiplicidade 2 multiplicamos por x para obter a segunda solução independente, daí o termo x e^{-x}.

Passo 3

Agora aplicamos o Método dos Coeficientes Indeterminados para achar y_p. Observação sobre o formato do palpite (ansatz):
  • O lado direito é e^{2x}\cos(4x). Para um termo e^{\alpha x}\cos(\beta x) o palpite padrão é
y_p=e^{\alpha x}(A\cos(\beta x)+B\sin(\beta x)),
com A,B constantes a determinar.
  • Devemos verificar se há ressonância com a solução homogênea: a exponencial presente é e^{2x} (expoente 2). As raízes da característica são -1, não iguais a 2\pm 4i, portanto NÃO há ressonância. Assim o palpite não precisa ser multiplicado por potências de x.
Portanto escolhemos o palpite
y_p=e^{2x}\bigl(A\cos(4x)+B\sin(4x)\bigr),
com A,B incógnitos.

Passo 4

Calculamos y_p'. Para facilitar, escrevo y_p=e^{2x}u(x) com u(x)=A\cos(4x)+B\sin(4x). Usando produto e regra da cadeia:
y_p' = e^{2x}\bigl(2u(x)+u'(x)\bigr).
Agora u'(x)=-4A\sin(4x)+4B\cos(4x). Então
y_p' = e^{2x}\bigl(2(A\cos4x+B\sin4x)+(-4A\sin4x+4B\cos4x)\bigr).
Reagrupando coeficientes de \cos4x e \sin4x:
y_p' = e^{2x}\bigl((2A+4B)\cos4x+(2B-4A)\sin4x\bigr).
Para ficar mais compacto, defina temporariamente
C:=2A+4B,\qquad D:=2B-4A,
então y_p' = e^{2x}\bigl(C\cos4x+D\sin4x\bigr).

Passo 5

Calculamos y_p'' a partir de y_p'=e^{2x}(C\cos4x+D\sin4x). Aplicando a mesma regra:
y_p''=e^{2x}\bigl(2(C\cos4x+D\sin4x)+(-4C\sin4x+4D\cos4x)\bigr).
Reagrupando:
y_p''=e^{2x}\bigl((2C+4D)\cos4x+(2D-4C)\sin4x\bigr).
Agora substituímos C e D em função de A,B. Lembrando C=2A+4B e D=2B-4A:
2C+4D=2(2A+4B)+4(2B-4A)=4A+8B+8B-16A=-12A+16B,
2D-4C=2(2B-4A)-4(2A+4B)=4B-8A-8A-16B=-16A-12B.
Logo
y_p'' = e^{2x}\bigl((-12A+16B)\cos4x+(-16A-12B)\sin4x\bigr).

Passo 6

Agora montamos o lado esquerdo L[y_p]=y_p''+2y_p'+y_p. Somando termo a termo (todos têm fator comum e^{2x}), os coeficientes de \cos4x e \sin4x são:
Coeficiente de \cos4x:
(-12A+16B)\quad (\text{de }y_p'')\;+\;(2C)\quad(\text{de }2y_p')\;+\;A\quad(\text{de }y_p).
Mas lembrando 2C=2(2A+4B)=4A+8B. Somando:
(-12A+16B)+(4A+8B)+A = (-12A+4A+A)+(16B+8B) = -7A+24B.
Coeficiente de \sin4x:
(-16A-12B)\quad(\text{de }y_p'')\;+\;(2D)\quad(\text{de }2y_p')\;+\;B\quad(\text{de }y_p).
Lembrando 2D=2(2B-4A)=4B-8A. Somando:
(-16A-12B)+(4B-8A)+B = (-16A-8A)+(-12B+4B+B) = -24A-7B.
Portanto
L[y_p]=e^{2x}\bigl((-7A+24B)\cos4x+(-24A-7B)\sin4x\bigr).

Passo 7

Impondo L[y_p]=\) lado direito \(=e^{2x}\cos4x\), igualamos coeficientes de \(\cos4x\) e \(\sin4x\): \[\begin{cases} -7A+24B=1,\\[4pt] -24A-7B=0. \end{cases}
Resolvemos o sistema linear. Da segunda equação:
-24A-7B=0 \implies 24A+7B=0 \implies B=-\dfrac{24}{7}A.
Substituindo na primeira:
-7A+24\Bigl(-\dfrac{24}{7}A\Bigr)=1 \implies -7A-\dfrac{576}{7}A=1.
Multiplicando por (7]:
-49A-576A=7 \implies -625A=7 \implies A=-\dfrac{7}{625}.
E então
B=-\dfrac{24}{7}A = -\dfrac{24}{7}\Bigl(-\dfrac{7}{625}\Bigr)=\dfrac{24}{625}.]

Passo 8

Com A e B encontrados, a solução particular é
y_p=e^{2x}\Bigl(-\dfrac{7}{625}\cos4x+\dfrac{24}{625}\sin4x\Bigr) =\dfrac{e^{2x}}{625}\bigl(-7\cos4x+24\sin4x\bigr).

Passo 9

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea y_h e da particular y_p:
y=(C_1+C_2x)e^{-x}+\dfrac{e^{2x}}{625}\bigl(-7\cos4x+24\sin4x\bigr),
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Resposta

Particular: \displaystyle y_p=\dfrac{e^{2x}}{625}\bigl(-7\cos4x+24\sin4x\bigr)
Geral: \displaystyle y=(C_1+C_2x)e^{-x}+\dfrac{e^{2x}}{625}\bigl(-7\cos4x+24\sin4x\bigr)

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